Stellenwertfunktionen

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Definition: Int, Frac Funktionen

Zuerst führen wir eine neue Funktion ein. Sie streicht alle Nachkommastellen und behält das Vorzeichen.

Dezimalsystem

[latex]x \in \mathbb{R}[/latex]

[latex]\operatorname{int}(x) := \begin{cases}\lfloor x \rfloor &x\ge 0\\ \lceil x \rceil & x<0 \end{cases}[/latex]

[latex]\operatorname{frac}(x) := x - \operatorname{int}(x)[/latex]

B-adisch

[latex]x \in \mathbb{R}[/latex]

[latex]\operatorname{int}_B(x) := \begin{cases}\lfloor x \rfloor_B &x\ge 0\\ \lceil x \rceil_B & x<0 \end{cases}[/latex]

[latex]\operatorname{frac}_B(x) := x - \operatorname{int}_B(x)[/latex]

Wobei [latex]\lfloor \cdot \rfloor _B[/latex] bzw. [latex]\lceil \cdot \rceil _B[/latex] die B-adische Ab- bzw. Aufrundungsfunktion ist.

Anzahl der Stellen einer Zahl x

[latex]Len(x) = \lfloor 1+log(x) \rfloor = \lfloor log(x) \rfloor + 1[/latex]

Anzahl der Stellen einer Zahl x mit Basis b (b-adische Darstellung):

[latex]Len_B(x) = \lfloor 1+log_B(x) \rfloor = \lfloor log_B(x) \rfloor + 1[/latex]

Länge von [latex]x \le 0[/latex]: definiert als 1.


i-ter Stellenwert der Zahl x

Dezimalsystem

[latex]i \in \mathbb{Z}[/latex], [latex]x \in \mathbb{R}[/latex], [latex]B \in \mathbb{N} \ge 2[/latex]

[latex]D(x, i) = \lfloor \frac{x}{b^i} \rfloor \bmod 10[/latex]

(Umformung von a_mod_b = a - floor(a/m) * m )

[latex]D(x, i) = \lfloor \frac{x}{10^i} \rfloor - \lfloor \frac{\lfloor \frac{x}{10^i} \rfloor}{10} \rfloor \cdot 10[/latex]

Dieser Schritt ist ohne Beweis (*):

[latex]D(x, i) = \lfloor \frac{x}{10^i} \rfloor - \lfloor \frac{x}{10^{i+1}} \rfloor \cdot 10[/latex]

(*) Der folgende Beweis fehlt:

[latex]\lfloor \frac{\lfloor \frac{x}{10^i} \rfloor}{10} \rfloor = \lfloor \frac{x}{10^{i+1}} \rfloor[/latex]

B-adische Darstellung

[latex]i \in \mathbb{Z}[/latex], [latex]x \in \mathbb{R}[/latex], [latex]B \in \mathbb{N} \ge 2[/latex]

[latex]D_B(x, i) = | \operatorname{int}_B( \frac{x}{B^i} ) | \bmod B[/latex]

(Umformung von a_mod_b = a - floor(a/m) * m )

[latex]D_B(x, i) = \operatorname{int}_B( \frac{x}{B^i} ) - \lfloor \frac{ | \operatorname{int}_B( \frac{x}{B^i} ) | }{B} \rfloor \cdot B[/latex]

Dieser Schritt ist ohne Beweis (*):

[latex]D_B(x, i) = | \operatorname{int}_B( \frac{x}{B^i} ) | - | \operatorname{int}_B( \frac{x}{B^{i+1}} ) | \cdot B[/latex]

(*) Der folgende Beweis fehlt:

[latex]\lfloor \frac{ | \operatorname{int}_B( \frac{x}{B^i} ) | }{B} \rfloor = | \operatorname{int}_B( \frac{x}{B^{i+1}} ) |[/latex]


Quersumme einer b-adischen Darstellung der Zahl x

[latex]Q_B(x) = \sum^{Len_B(x)-1}_{i=0} D_B(x, i) = \sum^{\infty}_{i=0} D_B(x, i)[/latex]

[latex]x \in \mathbb{N}[/latex]


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