Verhalten im 3D-RaumKollissionsdiskriminante K3Der Kollissionsdiskriminante für den 3D-Raum ist Vereinfachen von K3Multiplizieren mit : Die Summanden werden zur getrennten Vereinfachung (übersichtlicher) aufgeteilt: Summand 1 Summand 2 Zusammenfassung der Summanden rausholen: Finden eines w durch (b,g) damit K3=0Betrachtung für den Fall (Berührung im 3D-Raum): Definitionsbereich untersuchen: Der Nenner darf nicht Null werden: wird nie null. Allerdings kann ein gefunden, werden für das Veranschaulichung auf WolframAlpha.com (ToDo: Wie exakt zeigen?) Sonderfall Betrachten wir den Sonderfall für den gilt . Die aus abgeleitete Formel ergibt dann: Da muss gelten: Um die Notation beizubehalten, bezeichnen wir dieses als . Somit haben wir die Lösung des Sonderfalls, der von unabhängig ist: Gültige Parameter für Für welche ist ? Fall A Es muss also und Divident: Divisor: für Also gilt für den Divisor: Fall B Es muss also und Wir haben in Fall A gezeigt, dass der Divident , also nicht negativ werden kann. Deshalb fallen keine in diesen Fall. Zusammenfassung Die Gleichung für ist für (gemäß Definitionsbereich) erfüllt. Vollständige Definition von Somit gibt es für folgende Lösungen: (Sonderfall) Finden eines gemeinsamenEs soll ein gefunden werden, für das sowohl die 2D-Grundbedingung als auch die 3D-Zusatzbedingung erfüllt ist. Dieses kann nur gefunden werden, wenn für erfüllt ist: und . Dabei ist auch möglich,d ass w_2 oder w_3 = Lambda ist, allerdings nicht beide. Dann gilt die \subseteq Relation. Definitionsbereich Damit muss gelten: Für muss gelten: Somit ergibt sich die Bedingung für : Gleichsetzen von und Wir wollen nun die Bedingungen für finden, sodass ist. Definitionsbereich Zwingend erforderlich ist folgende Einschränkung: Es muss gelten, da sonst und damit bei durch Null geteilt wird. Es muss fener gelten, da sonst und damit bei durch Null geteilt wird. Diese beiden Bedingungen sind durch die obige Bedingung bzw. bereits erfüllt. Finden einer einfachen Gleichung für Division mit : 1. Sonderfall fürIst so gibt es eine Division durch Null in und somit wäre nach obiger nicht definiert. Da wir festgestellt haben, dass im 2D-Raum , können wir in die Gleichung einsetzen. Damit bleibt (genauer ) erfüllt. Definitionsbereich wäre nicht definiert, wenn ist definiert, da sowie . Einsetzen von 2. Sonderfall fürIst so gibt es eine Division durch Null in und somit wäre nach obiger nicht definiert. Da wir festgestellt haben, dass im 3D-Raum , können wir in die Gleichung einsetzen. Damit bleibt (genauer ) erfüllt. Definitionsbereich wäre nicht definiert, wenn . ist definiert, da sowie . Endgültige Definition vonVereinigungsdiskriminate Für diese oben geforderte Relation von führen wir folgende Funktion als Diskriminate ein: Ist also , so gibt es ein und es berühren sich die Raumkanten bei im 2D- und 3D-Raum. für und Die Bedingungen an damit ist sollten beibehalten werden, sind allerdings nicht für relevant. Mithilfe der Definition unserer beiden Sonderfälle können also so definieren: Achtung: Es sei zu beachten, dass die Zusatzbedingung an damit ebenfalls erfüllt sein muss. Dabei muss allerdings nur der Teil erfüllt sein, der relevant ist, also entweder für , oder : Anmerkung: Da gibt es kein . Finden einesDefinitionsbereich Der Definitionsbereich ist der selbe wie oben, also ist definiert, da für gilt . Einsetzen von und Numerische Lösung:
Finden einesBeispiel: K3(b, 0, 0) = 0Aus ergibt sich zusätzlich Anhand der Formel sehen wir: Mit , gilt . Unmittelbar aus der Definition von folgt dann: Definition: K23Gegeben sei ein . Gilt so ist wie folgt definiert: . Dies ist eine Kollissionsdeterminantenübereinstimmung für die Dimensionen bei . Definition: GeschlossenheitGegeben sei eine Kollissionsdeterminantenübereinstimmung für die Dimensionen bei . Die Dimensionsn heißen geschlossen, wenn es kein gibt, für das gelte: a) Es gibt . b) Es gibt . c) Es gibt . Und Variationen. Die Paare (b,g,w) sind somit eindeutig. Jedem b ist genau ein g und ein w zugeordnet. (b,g) -> w23(b,g) muss bijektiv sein Es gilt ferner Ein weiterer SonderfallIm 2D-Raum haben wir einen zusätzlichen Sonderfall mit gefunden. Wir wollen schauen, ob dieses so gewählt werden kann, dass .
Wir wählen da wir den Fall bereits kennen. Für müsste dann gelten: Da und ist diese Bedingung nicht erfüllt. Somit gibt es keine Lösung. w_2=0=w_3 Wir kennen die Fälle bei denen : . Es gibt keine gemeinsame Lösung für lambda, weil g* != g** b = b** Wählen wir Dann ergibt sich: Es gilt Dies ist auch in der Definition zu finden: Es gibt damit Theorie: K23 ist geschlossen... Besondere LösungenTriviale Lösungen: Harte Lösungen: ZusammenfassungToDow23 mit und ohne K=0 definierbar machen. Dann kann es auch ein "w"23 => K23 != 0 geben. So in der Art K(b,g,w(b,g,WISH))=WISH. unklar: wie viel abstand/kollissionraum bedeutet es, wenn K<0 bzw. K>0? (anhand k) | ||
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