Vereinfachen der K2-Formel

Der Kollissionsdiskriminante für den 2D-Raum ist

$[latex]K_2(b,g,w) = \frac{3-g}{1-g} - g + g^2 - 4 + 2w(\frac{b}{1-b} - b - b^2 - 1)[/latex]$

Multiplizieren mit $[latex](1-b)\cdot(1-g) \neq 0[/latex]$ :

$[latex]K_2(b,g,w)\cdot(1-b)(1-g) = \frac{3-g}{1-g}\cdot(1-b)(1-g) - g\cdot(1-b)(1-g) + g^2\cdot(1-b)(1-g) - 4\cdot(1-b)(1-g) + 2w(\frac{b}{1-b} - b - b^2 - 1)\cdot(1-b)(1-g)[/latex]$

Die Summanden werden zur getrennten Vereinfachung (übersichtlicher) aufgeteilt:

$[latex]A = \frac{3-g}{1-g}\cdot(1-b)(1-g) - g\cdot(1-b)(1-g) + g^2\cdot(1-b)(1-g) - 4\cdot(1-b)(1-g)[/latex]$

$[latex]B = 2w(\frac{b}{1-b} - b - b^2 - 1)\cdot(1-b)(1-g)[/latex]$

Summand 1

$[latex]A = \frac{3-g}{1-g}\cdot(1-b)(1-g) - g\cdot(1-b)(1-g) + g^2\cdot(1-b)(1-g) - 4\cdot(1-b)(1-g)[/latex]$

$[latex]A = (3-g)(1-b) - g\cdot(1-b)(1-g) + g^2\cdot(1-b)(1-g) - 4\cdot(1-b)(1-g)[/latex]$

$[latex]A = (1-b)((3-g) - g(1-g) + g^2(1-g) - 4(1-g))[/latex]$

$[latex]A = (1-b)((3-g) - (g-g^2) + (g^2-g^3) - (4-4g))[/latex]$

$[latex]A = (1-b)(3-g - g+g^2 + g^2-g^3 - 4+4g)[/latex]$

$[latex]A = (1-b)(-1 + 2g + 2g^2 - g^3)[/latex]$

$[latex]A = -(1-b)(1 - 2g - 2g^2 + g^3)[/latex]$

Für $[latex]g=1[/latex]$ ist folgende Gleichung erfüllt:

$[latex]0 = 1 - 2g - 2g^2 + g^3[/latex]$

Also kann durch Polinomdivison die folgende Faktorisierung erreicht werden:

$[latex]g^3-2g^2-2g+1 = (g+1)(g^2-3g+1)[/latex]$

Somit ist der Summand:

$[latex]A = -(1-b)(g+1)(g^2-3g+1)[/latex]$

Summand 2

$[latex]B = 2w(\frac{b}{1-b} - b - b^2 - 1)\cdot(1-b)(1-g)[/latex]$

$[latex]B = (\frac{2wb}{1-b} - 2wb - 2wb^2 - 2w)\cdot(1-b)(1-g)[/latex]$

$[latex]B = 2wb(1-g) - 2wb(1-b)(1-g) - 2wb^2(1-b)(1-g) - 2w(1-b)(1-g)[/latex]$

$[latex]B = 2w(1-g) (b - b(1-b) - b^2(1-b) - (1-b))[/latex]$

$[latex]B = 2w(1-g) (b - (b-b^2) - (b^2-b^3) - (1-b))[/latex]$

$[latex]B = 2w(1-g) (b - b+b^2 - b^2+b^3 - 1+b )[/latex]$

$[latex]B = 2w(1-g)(b^3+b-1)[/latex]$

Zusammenfassung der Summanden

$[latex]K_2(b,g,w)\cdot(1-b)(1-g) = A + B[/latex]$

$[latex]K_2(b,g,w) = \frac{A + B}{(1-b)(1-g)}[/latex]$

$[latex]K_2(b,g,w) = \frac{-(1-b)(g+1)(g^2-3g+1) + 2w(1-g)(b^3+b-1)}{(1-b)(1-g)}[/latex]$

Umstellung nach $[latex]w[/latex]$ bei $[latex]K_2(b,g,w) = 0[/latex]$

$[latex]w_{2}(b,g) = \frac{(1-b)(g+1)(g^2-3g+1)}{2(1-g)(b^3+b-1)}[/latex]$

Vollständige Definition

$[latex]w_2(b,g) = \begin{cases} \frac{(1-b)(g+1)(g^2-3g+1)}{2(1-g)(b^3+b-1)} & b \neq b^* \\ \lambda & b = b^* \end{cases}[/latex]$

Somit gibt es für $[latex]K_2(b,g,w)=0[/latex]$ folgende Lösungen:

$[latex]K_2(b, g, w_2(b,g)) = 0[/latex]$

$[latex]K_2(b^{*}, g^{*}, \lambda) = 0[/latex]$ (Sonderfall)

Definitionsbereich

$[latex]0 = 2(1-g)(b^3+b-1)[/latex]$

Da $[latex]2(1-g) \neq 0[/latex]$ :

$[latex]0 = b^3+b-1[/latex]$

Sei $[latex]b^*[/latex]$ die Lösung von $[latex]b^3+b-1 = 0[/latex]$ .

Es muss also $[latex]b \neq b^*[/latex]$ sein!

Herleitung von $[latex]b^*[/latex]$

Gemäß Cardanischer Formel

$[latex]b^3 + p \cdot b + q = 0[/latex]$

ist

$[latex]p = 1[/latex]$

$[latex]q = -1[/latex]$

$[latex]D := (\frac{q}{2})^2 + (\frac{p}{3})^3 = \frac{1}{4} + \frac{1}{27} = \frac{31}{108}[/latex]$

$[latex]D > 0[/latex]$ : Es gibt genau 1 Lösung

$[latex]u = \sqrt[3]{-(\frac{q}{2}) + \sqrt{D}} = \sqrt[3]{\frac{1}{2} + \sqrt{D}}[/latex]$

$[latex]v = \sqrt[3]{-(\frac{q}{2}) - \sqrt{D}} = \sqrt[3]{\frac{1}{2} - \sqrt{D}}[/latex]$

$[latex]b = u + v = \sqrt[3]{\frac{1}{2} + \sqrt{\frac{31}{108}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{2} - \sqrt{\frac{31}{108}}}[/latex]$ (Formel weiter vereinfachbar?)

Ergebnis $[latex]b \approx 0,682327804[/latex]$ gemäß WolframAlpha.com korrekt.

Betrachtung Sonderfall 1

Der erste Sonderfall beschäftigt sich mit dem Fall $[latex]b = b^*[/latex]$ . In diesem Fall ist $[latex]w_2(b,g)[/latex]$ nicht definiert.

Allerdings kann durch die Gleichung für $[latex]K_2(b,g,w)[/latex]$ gefunden werden:

$[latex]K_2(b,g,w) = -(1-{b^*})(g+1)(g^2-3g+1) + 2w(1-g)({b^*}^3+{b^*}-1)[/latex]$

$[latex]K_2(b,g,w) = -(1-{b^*})(g+1)(g^2-3g+1)[/latex]$

Wir sehen also, dass $[latex]K_2(b,g,w)[/latex]$ bei $[latex]b = b^*[/latex]$ von $[latex]w[/latex]$ unabhängig ist!

Wir wählen hierfür die Notation $[latex]w = \lambda[/latex]$ mit $[latex]\lambda \in \mathbb{R} \ge 0[/latex]$ .

Betrachtung Sonderfall 2

Der zweite Sonderfall beschäftigt sich mit dem Fall dass es ein $[latex]b, g[/latex]$ gibt, bei dem $[latex]K_2(b,g,w)=0[/latex]$ für ein beliebiges $[latex]w[/latex]$ ist.

Wählen wir $[latex]b = b^*[/latex]$ , dann gibt aufgrund des Sonderfalls 1:

$[latex]K_2(b,g,w) = -(1-{b^*})(g+1)(g^2-3g+1)[/latex]$

Wählen wir nun ein $[latex]g=g^*[/latex]$ , sodass $[latex]g^2-3g+1 = 0[/latex]$

Aus der PQ-Formel ergibt sich:

$[latex]g^* = \frac{3-\sqrt{5}}{2} \approx 0.381966011[/latex]$

Ist also $[latex]b = b^*[/latex]$ und $[latex]g = g^*[/latex]$ , so gilt

$[latex]K_2(b,g,w) = 0[/latex]$

mit $[latex]w = \lambda[/latex]$ .

Eine weitere Tatsache

Lassen wir $[latex]b = b^*[/latex]$ sein. Dann ist $[latex]w = \lambda[/latex]$ und der einzig gültige Wert für $[latex]g[/latex]$ ist $[latex]g = g^*[/latex]$ .

Gültige Parameter für $[latex]w_2(b,g)[/latex]$

Für welche $[latex]b, g[/latex]$ ist $[latex]w_2(b,g) \ge 0[/latex]$ ?

Fall A

Zähler: $[latex]\frac{(0)}{(+)} \hat{=} \frac{(+)}{(+)} \hat{=} (+)[/latex]$

Nenner: $[latex](1-b)(g+1)(g^2-3d+1) \ge 0[/latex]$ und

$[latex]2(1-g)(b^3+b-1) > 0[/latex]$

Folgende Faktoren sind immer positiv: $[latex]2[/latex]$ , $[latex](1-g)[/latex]$ , $[latex](1-b)[/latex]$ , $[latex](g+1)[/latex]$

Daher muss gelten:

Zähler: $[latex](g^2-3g+1) \ge 0[/latex]$ und

Nenner: $[latex](b^3+b-1) > 0[/latex]$

Dann ist $[latex]w_2(b,g)[/latex]$ berechenbar, wenn für $[latex]b, g[/latex]$ gilt:

$[latex]g \le g^*[/latex]$ und

$[latex]b > b^*[/latex]$

Fall B

$[latex]\frac{(0)}{(-)} \hat{=} \frac{(-)}{(-)} \hat{=} (+)[/latex]$

Zähler: $[latex](1-b)(g+1)(g^2-3d+1) \le 0[/latex]$ und

Nenner: $[latex]2(1-g)(b^3+b-1) < 0[/latex]$

Folgende Faktoren sind immer positiv: $[latex]2[/latex]$ , $[latex](1-g)[/latex]$ , $[latex](1-b)[/latex]$ , $[latex](g+1)[/latex]$

Daher muss gelten:

Zähler: $[latex](g^2-3g+1) \le 0[/latex]$ und

Nenner: $[latex](b^3+b-1) < 0[/latex]$

Dann ist $[latex]w_2(b,g)[/latex]$ berechenbar, wenn für $[latex]b, g[/latex]$ gilt:

$[latex]g \ge g^*[/latex]$ und

$[latex]b < b^*[/latex]$

Zusammenfassung der beiden Fälle

Somit muss gelten:

$[latex]((g \le g^*) \wedge (b > b^*)) \vee ((g \ge g^*) \wedge (b < b^*))[/latex]$

Bzw.

$[latex]((g = g^*) \wedge (b \neq b^*)) \vee ((g < g^*) \wedge (b > b^*)) \vee ((g > g^*) \wedge (b < b^*))[/latex]$

Ein weiterer Sonderfall

Betrachten wir $[latex]w=0[/latex]$ und $[latex]g=g^*[/latex]$ , so ist $[latex]K_2(b,g,w) = 0[/latex]$ erfüllt mit $[latex]b=\lambda[/latex]$ :

$[latex]K_2(\lambda,g^*,0) = 0[/latex]$

Ein paar Ergebnisse

Es gilt $[latex]K_2(b,g,w) = 0[/latex]$ unter Anderem für:

$[latex](b=0;\;\;g=\frac{1}{2};\;\;w=\frac{3}{8})[/latex]$

$[latex](b=\frac{1}{2};\;\;g=\frac{1}{2};\;\;w=\frac{1}{2})[/latex]$

$[latex]K_2(b^*,g^*,\lambda) = 0[/latex]$

$[latex]K_2(\lambda,g^*,0) = 0[/latex]$

Schließen wir $[latex]\lambda \neq b^*[/latex]$ aus, so können wir definieren:

$[latex]w_2(\lambda \neq b^*, g^*) = 0[/latex]$

Wählen wir $[latex]\lambda = b^*[/latex]$ , so gelte:

$[latex]w_2(\lambda = b^*, g^*) = \lambda[/latex]$

Wir können festlegen:

$[latex]w_2(b, g^*) = \begin{cases} 0 & b \neq b^* \\ \lambda & b = b^* \end{cases}[/latex]$

Dies folgt auch unmittelbar aus der Definition von $[latex]w_2(b,g)[/latex]$ .

Zusammenfassung

2D-Kollissionsradius

$[latex]K_2(b,g,w) = \frac{-(1-b)(g+1)(g^2-3g+1) + 2w(1-g)(b^3+b-1)}{(1-b)(1-g)}[/latex]$

Für eine Berührung ( $[latex]K_2(b,g,w) = 0[/latex]$ ) im 2D-Raum $[latex](b, g, w_2(b, g))[/latex]$ muss gelten:

$[latex]w_2(b,g) = \begin{cases} \frac{(1-b)(g+1)(g^2-3g+1)}{2(1-g)(b^3+b-1)} & b \neq b^* \\ \lambda & b = b^* \end{cases}[/latex]$

$[latex]\lambda \in \mathbb{R}[/latex]$

$[latex]((g \le g^*) \wedge (b > b^*)) \vee ((g \ge g^*) \wedge (b < b^*))[/latex]$

Vereinfachen der K2-Formel

27.06.2011 22:02:23 +0200

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