Herleitungsversuch Kongruenzgleichung aus n(n-1) === 0 mod b^u

(?) n, (n-1) immer teilerfremd?

n(n-1) = 10x
5*(5-1) = 5*4 = 20 = 2 * 10 === 0 mod 10
n=5; x=2	--> teilerfremd

n(n-1) = 24x

9*(9-1) = 9*8 = 72 = 3 * 24 === 0 mod 24
n=9; x=3	--> nicht teilerfremd!

16(16-1) = 16*15 = 240 = 10 * 24 === 0 mod 24
n=16; x=10 --> nicht teilerfremd

193(193-1) = 193*192 = 37056 = 1544 * 24 === 0 mod 24
n=193; x=1544 --> nicht teilerfremd

n(n-1) === 0 mod 24 bei n:

0
1
9
16
24
25
33
40
48
49
57
64
72
73
81
88
96
97
105
112
120
121
129
136
144
145
153
160
168
169
177
184
192
193

<?php

for ($i=0; $i<200; $i++) {
        if (($i*($i-1)) % 24 == 0) {
                echo "$i\n";
        }
}

?>

Probieren mit n^3 ?

n^3 === n^2 === n mod 24^u | * n^(k-3)
n^(3+k-3) === n^(2+k-3) === n^(1+k-3) mod 24^u
n^k === n^(k-1) === n^(k-2) mod 24^u

n^3 === n^2 === n mod 24^u
n^3 - n === n^2 - n === 0 mod 24^u
n(n^2 - 1) === n(n-1) === 0 mod 24^u

n(n^2 - 1) === 0 mod 24 ist erfüllt bei

3(3^2 - 1) = 3*8 = 24 === 0 mod 24
n=3; x=1 --> teilerfremd

5(5^2 - 1) = 5*24 = 120 === 0 mod 24
n=5; x=5 --> nicht teilerfremd

7(7^2 - 1) = 7*48 = 336 = 14*24 === 0 mod 24
n=7; x=14 --> nicht teilerfremd

0
1
3
5
7
8
9
11
13
15
16
17
19
21
23
24
25
27
29
31
32
33
35
37
39
40
41
43
45
47
48
49
51
53
55
56
57
59
61
63
64
65
67
69
71
72
73
75
77
79
80
81
83
85
87
88
89
91
93
95
96
97
99
101
103
104
105
107
109
111
112
113
115
117
119
120
121
123
125
127
128
129
131
133
135
136
137
139
141
143
144
145
147
149
151
152
153
155
157
159
160
161
163
165
167
168
169
171
173
175
176
177
179
181
183
184
185
187
189
191
192
193
195
197
199

<?php

for ($i=0; $i<200; $i++) {
        if (($i*($i*$i-1)) % 24 == 0) {
                echo "$i\n";
        }
}

?>


- Lösung -

Chinesischer Restsatz mit 3*8=24

n === a (mod 3^u)
n === b (mod 8^u)

a, b in {0, 1}

(0,1)

9 mod 24 (3*8)
	(9) mod (1)(0)
513 mod 576 (9*64)
	(21)(9) mod (1)(0)(0)
513 mod 13824 (27*512)
	(21)(9) mod (1)(0)(0)(0)
180225 mod 331776 (81*4096)
	(13)(0)(21)(9) mod (1)(0)(0)(0)(0)

(1,0)

16 mod 24 (3*8)
	(16) mod (1)(0)
64 mod 576 (9*64)
	(2)(16) mod (1)(0)(0)
13312 mod 13824 (27*512)
	(23)(2)(16) mod (1)(0)(0)(0)
151552 mod 331776 (81*4096)
	(10)(23)(2)(16) mod (1)(0)(0)(0)(0)