Immort-Zahlen der Basis 30 -------------------------- 25,3,11 30 hat Primfaktoren 2*3*5 = 30 x ist Immort zur Basis 30, wenn: X === a mod 2^u X === b mod 3^u X === c mod 5^u mit a,b,c Element (0,1) Test mit Permutation (a=1, b=0, c=0): u=1: x === 15 mod 30 = F(30) mod 10(30) u=2: x === 225 mod 900 = 7F(30) mod 100(30) u=3: x === 23625 mod 27000 = Q7F(30) mod 1000(30) Test Q7F * Q7F = MT1Q7F --> OK Erkenntnisse / Vermutungen: - Es scheint genau so viele Stämme wie Permutationen zu geben. - Die Zahl baut sich genau so wie Basis-10 um jeweils eine Stelle auf. Durch Permutationen (0,0,0) ... (1,1,1) erhalten wir folgende Stämme: (0,1,1) 25 = P(30) (1,0,1) 21 = L(30) (1,1,0) 16 = G(30) (1,0,0) 15 = F(30) (0,1,0) 10 = A(30) (0,0,1) 6 (1,1,1) 1 (0,0,0) 0 Es gibt also bei Basis-30 folgende Stämme: 0, 1, 6, A, F, G, L, P 0, 1, 6, 10, 15, 16, 21, 25 Stämme Schnellübersicht Stamm G: G, MG, 3MG Stamm P: P, AP, RAP Stamm L: L, QL, SQL Stamm F: F, 7F, Q7F Stamm A: A, 3A, 13A Stamm 6: 6, J6, 2J6 Stamm 1: 1 Stamm 0: 0 Test mit zusammenzählen: u=1: 6+A+F+L+P+G (30) = 93 = 33(30) (33-2R = 6 - weil 6 nicht-triviale Stämme?) u=2: J+3+7+Q+A+M (30) = 87 = 2R(30) u=3: 2+1+Q+S+R+3 (30) = 87 = 2R(30) Info: Stamm G (0,1,1) -- 3MG = 3, 22, 16 Stamm P (1,1,0) -- RAP = 27, 10, 25 Stamm L (1,0,1) -- SQL = 28, 26, 21 Stamm F (1,0,0) -- Q7F = 26, 7, 15 Stamm A (0,1,0) -- 13A = 1, 3, 10 Stamm 6 (0,0,1) -- 2J6 = 2, 19, 6 Aktuelle Erkenntnis: Es gibt bei Base30 insgesamt 8 Stämme: 0, 1, 6, A, F, L, P, G (0,0,0) ergibt nur 0 (trivial) (1,1,1) ergibt nur 1 (trivial) Es verbleiben 6 nicht triviale Stämme. Zur Erzeugung dieser 6 Stämme müssen wir nur 2 Stämme mit a+b+c = 1 finden. z.B. (0,0,1) und (0,1,0) Nun können wir den dritten Stamm mit a+b+c=1, in diesem Beispiel (1,0,0) finden: 10^u + 1 = (0,0,1) + (0,1,0) + (1,0,0) <=> (1,0,0) = 10^u + 1 - (0,0,1) - (0,1,0) Bsp: 1001 = Q7F + 13A + 2J6 <=> Q7F = 1001 - 2J6 - 13A Durch Addition können wir die restlichen 3 Stämme (1,1,0) und (0,1,1) und (1,0,1) finden: Bsp: (1,0,0) + (0,0,1) = (1,0,1) "Stamm F + Stamm 6 = Stamm L" Q7F + 2J6 = SQL Kurz: Bei Base-30 benötigt man 2 Stämme, um alle 8 zu finden. 1. (0,0,0) = 0 2. (1,1,1) = 1 3. (1,0,0) = berechnen 4. (0,1,0) = berechnen 5. (0,0,1) = 10^u + 1 - (1,0,0) - (0,1,0) 6. (1,1,0) = (1,0,0) + (0,1,0) 7. (0,1,1) = (0,1,0) + (0,0,1) 8. (1,0,1) = (1,0,0) + (0,0,1) Anmerkung: Man kann durchaus (0,0,1) + (0,1,0) + (1,0,0) = (1,1,1) rechnen, da (1,1,1) = 1 aber (10^u + 1) mod 10^u = 1 mod 10^u z.B. 1001 mod 1000 = 1 mod 1000 sofern man 1001>1000 bei der Modulooperation erlaubt. Hilfediagramm: 0123456789ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTU ------------------------------- 0 1 2 3 0123456789012345678901234567890 Fragen: 1. Gibt es einen fortführbaren Algorithmus? (Computing, Param r etc.) 2. Kann man bei Base30 mit nur 1 Stamm alle anderen Stämme erschließen? Online-Tools http://www.kaagaard.dk/service/convert.htm http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/chinesischerRestsatz.htm 1,0,0 Stamm F a0 = F = 15 R(1) = 7 a(1) = 7 R(2) = (R(1) - a(1) / 30) + a(1) + ... R(2) = 0 + 7 + a(1)*a(1) = 7 + 7*7 = 56 = 1Q a(2) = 26 = Q R(3) = (R(2) - a(2) / 30) + a(2) + a(1)*a(2) + a(2)*a(1) = 1 + Q + Q*7 + 7*Q = R + C4 = D1 = 391 a(3) = 1 --> Stamm F müsste sein ...1Q7F Damit scheint die Formel zu stimmen! -- Es wurde lediglich 10 mit 30 ersetzt und die Startparameter dementsprechend. 0,1,0 Stamm A a0 = A = 10 R(1) = 3 a(1) = 3 R(2) = (R(1) - a(1) / 30) + a(1) + ... R(2) = 0 + 3 + a(1)*a(1) = 3 + 3*3 = 12 = C a(2) = 12 = C R(3) = (R(2) - a(2) / 30) + a(2) + a(1)*a(2) + a(2)*a(1) = 0 + C + C*3 + 3*C = 84 = 2O a(3) = O --> Stamm A müsste sein... OC3A soll sein 13A ----> PROBLEM!!! Stamm 6 (0,0,1) -- 2J6 = 2, 19, 6 funktioniert ebenfalls nicht u = 2 R(u)= 380 a(u)= K / 20 u = 3 R(u)= 792 a(u)= C / 12 u = 4 R(u)= 894 a(u)= O / 24 Oha! Man kann mit dem Algorithmus nur den ersten Stamm berechnen! Bei Base10 geht es auch nicht mit (0,1) Stamm-6, sondern nur mit (1,0) Stamm-5. Liegt es daran, dass es 2^u ist oder liegt es daran, das es der kleinste Primfaktor ist??? Wie kann man die anderen Stämme jetzt zuverlässig berechnen? --------------------- Eine große Immort-Zahl Base-30 Stamm-F >> DF46RG1JIRJR6F3FE1Q7F Vermutung: (1,0,0) + 5 = (0,1,0) mit Überlauf (mit Ausnahme von u=1) --> 613A korrekt wäre aber H13A ... Stamm F (1,0,0) -- 1Q7F = 1, 26, 7, 15 Stamm A (0,1,0) -- H13A = 17, 1, 3, 10