Ermittlung von $[latex]b^{**}[/latex]$

Es soll ein $[latex]b[/latex]$ gefunden werden für das gilt

$[latex]b^4 + b - 1 = 0[/latex]$

Der Wertebereich ist $[latex]0 \le b < 1[/latex]$ .

Kompakte Formulierung für reellwertige Koeffizienten

http://de.wikipedia.org/wiki/Quartische_Gleichung#Kompakte_Formulierung_f.C3.BCr_reellwertige_Koeffizienten

$[latex]ax^4 + bx^3 + cx^2 + d^x + e = 0[/latex]$

$[latex]a=1[/latex]$

$[latex]b=0[/latex]$

$[latex]c=0[/latex]$

$[latex]d=1[/latex]$

$[latex]e=-1[/latex]$

$[latex]y = x + \frac{b}{4a} = x[/latex]$

Wir besitzen bereits die reduzierte Form

$[latex]y^4 + py^2 + qy + r = 0[/latex]$

$[latex]p = 0[/latex]$

$[latex]q = 1[/latex]$

$[latex]r = -1[/latex]$

$[latex]q \neq 0[/latex]$ : Nicht bikubisch

Kubische Resolvente $[latex]z[/latex]$

$[latex]z^3 + 2pz^2 + (p^2 - 4r)z - q^2 = 0[/latex]$

$[latex]z^3 + 4z - 1 = 0[/latex]$

Lösen der Resolvente

Die Cardanische Formel zur Auflösung der reduzierten Form z³ + pz + q = 0

http://www.wolframalpha.com/input/?i=z^3%2B4z-1%3D0

http://de.wikipedia.org/wiki/Cardanische_Formeln#Die_Cardanische_Formel_zur_Aufl.C3.B6sung_der_reduzierten_Form_z.C2.B3_.2B_pz_.2B_q_.3D_0

$[latex]p = 4[/latex]$

$[latex]q = -1[/latex]$

$[latex]D:=\left(\frac{q}2\right)^2 + \left(\frac{p}3\right)^3[/latex]$

$[latex]D=\left(\frac{-1}2\right)^2 + \left(\frac{4}3\right)^3=\frac{283}{108}[/latex]$

$[latex]u = \sqrt[3]{-\frac{q}2 + \sqrt{D}} = \sqrt[3]{-\frac{-1}2 + \sqrt{\frac{283}{108}}} = \sqrt[3]{\frac{1}2 + \sqrt{\frac{283}{108}}}[/latex]$

$[latex]v = \sqrt[3]{-\frac{q}2 - \sqrt{D}} = \sqrt[3]{-\frac{-1}2 - \sqrt{\frac{283}{108}}} = \sqrt[3]{\frac{1}2 - \sqrt{\frac{283}{108}}}[/latex]$

$[latex]D > 0[/latex]$ : Es gibt genau eine reelle Lösung und zwei echt komplexe Lösungen.

$[latex]z_1 = u + v = \sqrt[3]{\frac{1}2 + \sqrt{\frac{283}{108}}} + \sqrt[3]{\frac{1}2 - \sqrt{\frac{283}{108}}} \approx 0.24626617216772[/latex]$

$[latex]z_2 = -\frac{u+v}2 + \frac{u-v}2\,\mathrm i \sqrt3[/latex]$

$[latex]z_2 = -\frac{\sqrt[3]{\frac{1}2 + \sqrt{\frac{283}{108}}}+\sqrt[3]{\frac{1}2 - \sqrt{\frac{283}{108}}}}2 + \frac{\sqrt[3]{\frac{1}2 + \sqrt{\frac{283}{108}}}-\sqrt[3]{\frac{1}2 - \sqrt{\frac{283}{108}}}}2\,\mathrm i \sqrt3[/latex]$

$[latex]z_3 = -\frac{u+v}2 - \frac{u-v}2\,\mathrm i \sqrt3[/latex]$

$[latex]z_3 = -\frac{\sqrt[3]{\frac{1}2 + \sqrt{\frac{283}{108}}}+\sqrt[3]{\frac{1}2 - \sqrt{\frac{283}{108}}}}2 - \frac{\sqrt[3]{\frac{1}2 + \sqrt{\frac{283}{108}}}-\sqrt[3]{\frac{1}2 - \sqrt{\frac{283}{108}}}}2\,\mathrm i \sqrt3[/latex]$

Die beiden komplexen 3. Wurzeln u und v müssen dabei so gewählt werden, dass die Nebenbedingung $[latex]u\cdot v = -\frac{p}3[/latex]$ erfüllt ist (dadurch gibt es statt 9 nur 3 Paare (u,v)).

z2

Umwandlung von kartesischer Form $[latex]z = a+bi[/latex]$ in Polarform $[latex]z = r \cdot e^{i\varphi}[/latex]$ mittels

$[latex]r = |z| = \sqrt{a^2+b^2}[/latex]$

$[latex]\varphi = arctan(\frac{b}{a})[/latex]$

$[latex]z_2 = a+bi[/latex]$

$[latex]a = -\frac{\sqrt[3]{\frac{1}2 + \sqrt{\frac{283}{108}}}+\sqrt[3]{\frac{1}2 - \sqrt{\frac{283}{108}}}}2[/latex]$

$[latex]b = \frac{\sqrt[3]{\frac{1}2 + \sqrt{\frac{283}{108}}}-\sqrt[3]{\frac{1}2 - \sqrt{\frac{283}{108}}}}2\, \sqrt3[/latex]$

$[latex]r = \sqrt{(\frac{\sqrt[3]{\frac{1}2 + \sqrt{\frac{283}{108}}}+\sqrt[3]{\frac{1}2 - \sqrt{\frac{283}{108}}}}2)^2+(\frac{\sqrt[3]{\frac{1}2 + \sqrt{\frac{283}{108}}}-\sqrt[3]{\frac{1}2 - \sqrt{\frac{283}{108}}}}2\, \sqrt3)^2}[/latex]$

$[latex]\varphi = arctan(- \frac{\frac{\sqrt[3]{\frac{1}2 + \sqrt{\frac{283}{108}}}-\sqrt[3]{\frac{1}2 - \sqrt{\frac{283}{108}}}}2\, \sqrt3}{\frac{\sqrt[3]{\frac{1}2 + \sqrt{\frac{283}{108}}}+\sqrt[3]{\frac{1}2 - \sqrt{\frac{283}{108}}}}2})[/latex]$

$[latex]z_2 = \sqrt{(\frac{\sqrt[3]{\frac{1}2 + \sqrt{\frac{283}{108}}}+\sqrt[3]{\frac{1}2 - \sqrt{\frac{283}{108}}}}2)^2+(\frac{\sqrt[3]{\frac{1}2 + \sqrt{\frac{283}{108}}}-\sqrt[3]{\frac{1}2 - \sqrt{\frac{283}{108}}}}2\, \sqrt3)^2} \cdot e^{i \cdot arctan(- \frac{\frac{\sqrt[3]{\frac{1}2 + \sqrt{\frac{283}{108}}}-\sqrt[3]{\frac{1}2 - \sqrt{\frac{283}{108}}}}2\, \sqrt3}{\frac{\sqrt[3]{\frac{1}2 + \sqrt{\frac{283}{108}}}+\sqrt[3]{\frac{1}2 - \sqrt{\frac{283}{108}}}}2})}[/latex]$

Quadratwurzel von $[latex]z_2[/latex]$ :

$[latex]\sqrt{z} = \sqrt{r} \cdot e^{i \frac{\varphi+2k\pi}{2}} \qquad k = \{0, 1\}[/latex]$

$[latex]\sqrt{z_2} = \sqrt{\sqrt{(\frac{\sqrt[3]{\frac{1}2 + \sqrt{\frac{283}{108}}}+\sqrt[3]{\frac{1}2 - \sqrt{\frac{283}{108}}}}2)^2+(\frac{\sqrt[3]{\frac{1}2 + \sqrt{\frac{283}{108}}}-\sqrt[3]{\frac{1}2 - \sqrt{\frac{283}{108}}}}2\, \sqrt3)^2}} \cdot e^{i \frac{arctan(- \frac{\frac{\sqrt[3]{\frac{1}2 + \sqrt{\frac{283}{108}}}-\sqrt[3]{\frac{1}2 - \sqrt{\frac{283}{108}}}}2\, \sqrt3}{\frac{\sqrt[3]{\frac{1}2 + \sqrt{\frac{283}{108}}}+\sqrt[3]{\frac{1}2 - \sqrt{\frac{283}{108}}}}2})+2k\pi}{2}} \qquad k = \{0, 1\}[/latex]$