Verhalten im 3D-Raum

Kollissionsdiskriminante K3

Der Kollissionsdiskriminante für den 3D-Raum ist

$[latex]K_3(b,g,w) = \frac{1}{1-g} - g - g^2 - 1 - w + bw(\frac{1}{1-b} - b - b^2 - 1)[/latex]$

Vereinfachen von K3

Multiplizieren mit $[latex](1-b)\cdot(1-g) \neq 0[/latex]$ :

$[latex]K_3(b,g,w)\cdot(1-b)(1-g) = \frac{1}{1-g}\cdot(1-b)(1-g) - g\cdot(1-b)(1-g) - g^2\cdot(1-b)(1-g) - 1\cdot(1-b)(1-g) - w\cdot(1-b)(1-g) + bw(\frac{1}{1-b} - b - b^2 - 1)\cdot(1-b)(1-g)[/latex]$

Die Summanden werden zur getrennten Vereinfachung (übersichtlicher) aufgeteilt:

$[latex]A = \frac{1}{1-g}\cdot(1-b)(1-g) - g\cdot(1-b)(1-g) - g^2\cdot(1-b)(1-g) - 1\cdot(1-b)(1-g) - w\cdot(1-b)(1-g)[/latex]$

$[latex]B = bw(\frac{1}{1-b} - b - b^2 - 1)\cdot(1-b)(1-g)[/latex]$

Summand 1

$[latex]A = (1-b) - g\cdot(1-b)(1-g) - g^2\cdot(1-b)(1-g) - (1-b)(1-g) - w\cdot(1-b)(1-g)[/latex]$

$[latex]A = (1-b)(1 - g(1-g) - g^2(1-g) - (1-g)) - w\cdot(1-b)(1-g)[/latex]$

$[latex]A = (1-b)(1 - (g-g^2) - (g^2-g^3) - (1-g)) - w\cdot(1-b)(1-g)[/latex]$

$[latex]A = (1-b)(1 - g+g^2 - g^2+g^3 - 1+g) - w\cdot(1-b)(1-g)[/latex]$

$[latex]A = (1-b)(g^3) - w\cdot(1-b)(1-g)[/latex]$

$[latex]A = g^3(1-b) - w\cdot(1-b)(1-g)[/latex]$

Summand 2

$[latex]B = bw(\frac{1}{1-b}\cdot(1-b)(1-g) - b\cdot(1-b)(1-g) - b^2\cdot(1-b)(1-g) - 1\cdot(1-b)(1-g))[/latex]$

$[latex]B = bw((1-g) - b\cdot(1-b)(1-g) - b^2\cdot(1-b)(1-g) - (1-b)(1-g))[/latex]$

$[latex]B = bw(1-g)(1 - b\cdot(1-b) - b^2\cdot(1-b) - (1-b))[/latex]$

$[latex]B = bw(1-g)(1 - (b-b^2) - (b^2-b^3) - 1+b)[/latex]$

$[latex]B = bw(1-g)(- (b-b^2) - (b^2-b^3) +b)[/latex]$

$[latex]B = bw(1-g)(- b+b^2 - b^2+b^3 +b)[/latex]$

$[latex]B = bw(1-g)(b^3)[/latex]$

$[latex]B = b^4w(1-g)[/latex]$

Zusammenfassung der Summanden

$[latex]K_3(b,g,w)\cdot(1-b)(1-g) = A + B[/latex]$

$[latex]K_3(b,g,w) = \frac{A + B}{(1-b)(1-g)}[/latex]$

$[latex]K_3(b,g,w) = \frac{g^3(1-b) - w\cdot(1-b)(1-g) + b^4w(1-g)}{(1-b)(1-g)}[/latex]$

$[latex]-w[/latex]$ rausholen:

$[latex]K_3(b,g,w) = \frac{g^3(1-b) - w\cdot((1-b)(1-g) - b^4(1-g))}{(1-b)(1-g)}[/latex]$

$[latex]K_3(b,g,w) = \frac{g^3(1-b) - w\cdot(1-g)(1-b - b^4)}{(1-b)(1-g)}[/latex]$

Finden eines w durch (b,g) damit K3=0

Betrachtung für den Fall $[latex]K_3(b,g,w) = 0[/latex]$ (Berührung im 3D-Raum):

$[latex]0 = \frac{g^3(1-b) - w\cdot(1-g)(1-b - b^4)}{(1-b)(1-g)}[/latex]$

$[latex]0 = g^3(1-b) - w\cdot(1-g)(1-b - b^4)[/latex]$

$[latex]-g^3(1-b) = - w\cdot(1-g)(1-b - b^4)[/latex]$

$[latex]g^3(1-b) = w\cdot(1-g)(1-b - b^4)[/latex]$

$[latex]w_3(b,g) = \frac{g^3(1-b)}{(1-g)(1-b - b^4)}[/latex]$

Definitionsbereich untersuchen:

Der Nenner darf nicht Null werden:

$[latex]0 = (1-g)(1-b - b^4)[/latex]$

$[latex]0 = (1-g)[/latex]$ wird nie null.

Allerdings kann ein $[latex]b = b^{**}[/latex]$ gefunden, werden für das

$[latex]0 = 1-b - b^4[/latex]$

$[latex]0 = -b^4 - b + 1[/latex]$

$[latex]0 = b^4 + b - 1[/latex]$

$[latex]b^{**} \approx 0.724492[/latex]$

Veranschaulichung auf WolframAlpha.com

(ToDo: Wie exakt zeigen?)

Sonderfall $[latex]b=b^{**}[/latex]$

Betrachten wir den Sonderfall $[latex]b=b^{**}[/latex]$ für den gilt $[latex]1-b - b^4 = 0[/latex]$ .

Die aus $[latex]K_3(b,g)[/latex]$ abgeleitete Formel $[latex]0 = g^3(1-b) - w\cdot(1-g)(1-b - b^4)[/latex]$ ergibt dann:

$[latex]0 = g^3(1-b) - w\cdot(1-g)\cdot 0[/latex]$

$[latex]0 = g^3(1-b) - 0[/latex]$

$[latex]0 = g^3(1-b)[/latex]$

Da $[latex]1-b \neq 0 \; \forall \; 0 \le b < 1[/latex]$ muss gelten:

$[latex]0 = g^3[/latex]$

$[latex]0 = g[/latex]$

Um die Notation beizubehalten, bezeichnen wir dieses $[latex]g=0[/latex]$ als $[latex]g^{**}[/latex]$ .

Somit haben wir die Lösung des Sonderfalls, der von $[latex]w[/latex]$ unabhängig ist:

$[latex]K_3(b^{**}, g^{**}, \lambda) = 0[/latex]$

Gültige Parameter für $[latex]w_3(b,g)[/latex]$

Für welche $[latex]b, g[/latex]$ ist $[latex]w_3(b,g) \ge 0[/latex]$ ?

Fall A

$[latex]\frac{(0)}{(+)} \hat{=} \frac{(+)}{(+)} \hat{=} (+)[/latex]$

Es muss also $[latex]g^3(1-b) \ge 0[/latex]$ und $[latex](1-g)(1-b - b^4) > 0[/latex]$

Divident:

$[latex]g^3 \ge 0[/latex]$

$[latex](1-b) > 0[/latex]$

$[latex]\Rightarrow g^3(1-b) \ge 0[/latex]$

Divisor:

$[latex](1-g) > 0[/latex]$

$[latex]1-b - b^4 > 0[/latex]$ für $[latex]b < b^{**}[/latex]$

Also gilt für den Divisor: $[latex]b < b^{**} \Rightarrow (1-g)(1-b - b^4) > 0[/latex]$

Fall B

$[latex]\frac{(0)}{(-)} \hat{=} \frac{(-)}{(-)} \hat{=} (+)[/latex]$

Es muss also $[latex]g^3(1-b) \le 0[/latex]$ und $[latex](1-g)(1-b - b^4) < 0[/latex]$

Wir haben in Fall A gezeigt, dass der Divident $[latex]g^3(1-b) \ge 0[/latex]$ , also nicht negativ werden kann. Deshalb fallen keine $[latex]b, g[/latex]$ in diesen Fall.

Zusammenfassung

Die Gleichung für $[latex]w_3(b,g)[/latex]$ ist für $[latex]b < b^{**}[/latex]$ (gemäß Definitionsbereich) erfüllt.

Vollständige Definition von $[latex]w_{3}(b,g)[/latex]$

$[latex]w_{3}(b,g) := \begin{cases} \frac{g^3(1-b)}{(1-g)(1-b - b^4)} & b < b^{**} \\ \lambda & b = b^{**} \\ \end{cases}[/latex]$

Somit gibt es für $[latex]K_3(b,g,w)=0[/latex]$ folgende Lösungen:

$[latex]K_3(b, g, w_3(b,g)) = 0[/latex]$

$[latex]K_3(b^{**}, g^{**}, \lambda) = 0[/latex]$ (Sonderfall)

Finden eines gemeinsamen $[latex]w[/latex]$

Es soll ein $[latex]w[/latex]$ gefunden werden, für das sowohl die 2D-Grundbedingung als auch die 3D-Zusatzbedingung erfüllt ist. Dieses $[latex]w[/latex]$ kann nur gefunden werden, wenn für $[latex](b,g,w)[/latex]$ erfüllt ist: $[latex]K_2(b,g,w)=K_3(b,g,w)=0[/latex]$ und $[latex]w_2(b,g) = w_3(b,g)[/latex]$ .

$[latex]w_2(b,g) = w_3(b,g) \Rightarrow w_{2,3}(b,g) := w_2(b,g) = w_3(b,g)[/latex]$

Dabei ist auch möglich,d ass w_2 oder w_3 = Lambda ist, allerdings nicht beide. Dann gilt die \subseteq Relation.

Definitionsbereich

Damit $[latex]w_2(b,g) \ge 0[/latex]$ muss gelten:

$[latex]((g \le g^*) \wedge (b > b^*)) \vee ((g \ge g^*) \wedge (b < b^*))[/latex]$

Für $[latex]w_3(b,g) \ge 0[/latex]$ muss gelten:

$[latex]b < b^{**}[/latex]$

Somit ergibt sich die Bedingung für $[latex]w_{2,3}[/latex]$ :

$[latex]((g \le g^*) \wedge (b^* < b < b^{**})) \vee ((g \ge g^*) \wedge (b < b^*))[/latex]$

Gleichsetzen von $[latex]w_2(b,g)[/latex]$ und $[latex]w_3(b,g)[/latex]$

Wir wollen nun die Bedingungen für $[latex](b,g)[/latex]$ finden, sodass $[latex]K_2(b,g,w)=K_3(b,g,w)=0[/latex]$ ist.

$[latex]w_2(b,g) = w_3(b,g)[/latex]$

$[latex]\frac{(1-b)(g+1)(g^2-3g+1)}{2(1-g)(b^3+b-1)} = \frac{g^3(1-b)}{(1-g)(1-b - b^4)}[/latex]$

Definitionsbereich

Zwingend erforderlich ist folgende Einschränkung:

Es muss $[latex]b \neq b^*[/latex]$ gelten, da sonst $[latex]b^3+b-1 = 0[/latex]$ und damit bei $[latex]w_2(b,g)[/latex]$ durch Null geteilt wird.

Es muss fener $[latex]b \neq b^{**}[/latex]$ gelten, da sonst $[latex]1-b - b^4 = 0[/latex]$ und damit bei $[latex]w_3(b,g)[/latex]$ durch Null geteilt wird.

Diese beiden Bedingungen sind durch die obige Bedingung $[latex]b^* < b < b^{**}[/latex]$ bzw. $[latex]b < b^*[/latex]$ bereits erfüllt.

Finden einer einfachen Gleichung für $[latex]w_{2,3}(b,g)[/latex]$

$[latex]\frac{(1-b)(g+1)(g^2-3g+1)}{2(b^3+b-1)} = \frac{g^3(1-b)}{1-b - b^4}[/latex]$

$[latex]\frac{(1-b)(g+1)(g^2-3g+1)}{b^3+b-1} = \frac{2g^3(1-b)}{1-b - b^4}[/latex]$

Division mit $[latex](1-b) \neq 0[/latex]$ :

$[latex]\frac{(g+1)(g^2-3g+1)}{b^3+b-1} = \frac{2g^3}{1-b - b^4}[/latex]$

$[latex]\frac{(g+1)(g^2-3g+1)(1-b - b^4)}{b^3+b-1} = 2g^3[/latex]$

$[latex](g+1)(g^2-3g+1)(1-b - b^4) = 2g^3(b^3+b-1)[/latex]$

$[latex]0 = (g+1)(g^2-3g+1)(1-b - b^4) - 2g^3(b^3+b-1)[/latex]$

1. Sonderfall für $[latex]b = b^*[/latex]$

Ist $[latex]b = b^*[/latex]$ so gibt es eine Division durch Null in $[latex]w_2(b,g)[/latex]$ und somit wäre $[latex]w_{2,3}(b,g)[/latex]$ nach obiger nicht definiert.

Da wir festgestellt haben, dass im 2D-Raum $[latex]b = b^* \Rightarrow w_2(b,g) = \lambda[/latex]$ , können wir $[latex](b^*, g)[/latex]$ in die Gleichung $[latex]w_3(b,g)[/latex]$ einsetzen. Damit bleibt $[latex]w_2(b,g) = w_3(b,g)[/latex]$ (genauer $[latex]w_3(b,g) \subseteq w_2(b,g)[/latex]$ ) erfüllt.

$[latex]w_3(b^*, g) = \frac{g^3(1-b^*)}{(1-g)(1 - b^* - {b^*}^4)}[/latex]$

Definitionsbereich

$[latex]w_3(b^*,g)[/latex]$ wäre nicht definiert, wenn

$[latex](1-g)(1-b^* - {b^*}^4) = 0[/latex]$

$[latex]w_3(b,g)[/latex]$ ist definiert, da $[latex]1-b^* - {b^*}^4 \neq 0[/latex]$ sowie $[latex](1-g) \neq 0[/latex]$ .

Einsetzen von $[latex]b^*[/latex]$

$[latex]w_3(b^*, g) = \frac{g^3(1-(\sqrt[3]{\frac{1}{2} + \sqrt{\frac{31}{108}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{2} - \sqrt{\frac{31}{108}}}))}{(1-g)((1-\sqrt[3]{\frac{1}{2} + \sqrt{\frac{31}{108}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{2} - \sqrt{\frac{31}{108}}}) - (\sqrt[3]{\frac{1}{2} + \sqrt{\frac{31}{108}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{2} - \sqrt{\frac{31}{108}}})^4)}[/latex]$

$[latex]w_3(b^*, g) = \frac{g^3(1-\sqrt[3]{\frac{1}{2} + \sqrt{\frac{31}{108}}} - \sqrt[3]{\frac{1}{2} - \sqrt{\frac{31}{108}}})}{(1-g)(1-\sqrt[3]{\frac{1}{2} + \sqrt{\frac{31}{108}}} - \sqrt[3]{\frac{1}{2} - \sqrt{\frac{31}{108}}} - (\sqrt[3]{\frac{1}{2} + \sqrt{\frac{31}{108}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{2} - \sqrt{\frac{31}{108}}})^4)}[/latex]$

2. Sonderfall für $[latex]b = b^{**}[/latex]$

Ist $[latex]b = b^{**}[/latex]$ so gibt es eine Division durch Null in $[latex]w_3(b,g)[/latex]$ und somit wäre $[latex]w_{2,3}(b,g)[/latex]$ nach obiger nicht definiert.

Da wir festgestellt haben, dass im 3D-Raum $[latex]b = b^{**} \Rightarrow w_3(b,g) = \lambda[/latex]$ , können wir $[latex](b^{**}, g)[/latex]$ in die Gleichung $[latex]w_2(b,g)[/latex]$ einsetzen. Damit bleibt $[latex]w_2(b,g) = w_3(b,g)[/latex]$ (genauer $[latex]w_2(b,g) \subseteq w_3(b,g)[/latex]$ ) erfüllt.

$[latex]w_2(b^{**}, g) = \frac{(1-b^{**})(g+1)(g^2-3g+1)}{2(1-g)(b^{**}^3+b^{**}-1)}[/latex]$

Definitionsbereich

$[latex]w_2(b^{**},g)[/latex]$ wäre nicht definiert, wenn

$[latex]2(1-g)(b^{**}^3+b^{**}-1)[/latex]$ .

$[latex]w_2(b^{**},g)[/latex]$ ist definiert, da $[latex]b^{**}^3+b^{**}-1 \neq 0[/latex]$ sowie $[latex](1-g) \neq 0[/latex]$ .

Endgültige Definition von $[latex]w_{2,3}(b, g)[/latex]$

Vereinigungsdiskriminate

Für diese oben geforderte Relation von $[latex](b, g)[/latex]$

$[latex]0 = (g+1)(g^2-3g+1)(1-b - b^4) - 2g^3(b^3+b-1)[/latex]$

führen wir folgende Funktion als Diskriminate ein:

$[latex]X(b,g) = (g+1)(g^2-3g+1)(1-b - b^4) - 2g^3(b^3+b-1)[/latex]$

Ist also $[latex]X(b,g)=0[/latex]$ , so gibt es ein $[latex]w_{2,3}(b,g) := w_{2}(b,g) = w_{3}(b,g)[/latex]$ und es berühren sich die Raumkanten bei $[latex](b, g, w_{2,3}(b,g))[/latex]$ im 2D- und 3D-Raum.

$[latex]X(b,g) = 0 \Leftrightarrow w_{2}(b,g) = w_{3}(b,g) \Leftrightarrow w_{2,3}(b,g) := w_{2}(b,g) = w_{3}(b,g) \Leftrightarrow K_2(b,g,w_{2,3}(b,g)) = K_3(b,g,w_{2,3}(b,g)) = 0[/latex]$

für $[latex]b \neq b^*[/latex]$ und $[latex]b \neq b^{**} .[/latex]$

Die Bedingungen an $[latex](b,g)[/latex]$ damit $[latex]w<0[/latex]$ ist sollten beibehalten werden, sind allerdings nicht für $[latex]X(b,g)[/latex]$ relevant.

Mithilfe der Definition unserer beiden Sonderfälle können $[latex]w_{2,3}(b,g)[/latex]$ also so definieren:

$[latex]w_{2,3}(b,g) := \begin{cases} w_2(b,g) = w_3(b,g) & b \neq b^* \wedge b \neq b^{**} \wedge X(b,g) = 0 \\ w_3(b,g) & b = b^* \\ w_2(b,g) & b = b^{**} \end{cases}[/latex]$

Achtung: Es sei zu beachten, dass die Zusatzbedingung an $[latex](b,g)[/latex]$ damit $[latex]w<0[/latex]$ ebenfalls erfüllt sein muss. Dabei muss allerdings nur der Teil erfüllt sein, der relevant ist, also entweder für $[latex]w_2[/latex]$ , $[latex]w_3[/latex]$ oder $[latex]w_{2,3}[/latex]$ :

$[latex]w_{2}: ((g \le g^*) \wedge (b > b^*)) \vee ((g \ge g^*) \wedge (b < b^*))[/latex]$

$[latex]w_{3}: (b < b^{**})[/latex]$

$[latex]w_{2,3}: w_{2} \cup w_{3}: ((g \le g^*) \wedge (b^* < b < b^{**})) \vee ((g \ge g^*) \wedge (b < b^*))[/latex]$

Anmerkung: Da $[latex]b^* \neq b^{**}[/latex]$ gibt es kein $[latex]w_{2,3}(b,g) = \lambda[/latex]$ .

Finden eines $[latex]w^* := w_{2,3}(b^, g^)[/latex]$

$[latex]b^* = \sqrt[3]{\frac{1}{2} + \sqrt{\frac{31}{108}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{2} - \sqrt{\frac{31}{108}}}[/latex]$

$[latex]g^* = \frac{3-\sqrt{5}}{2}[/latex]$

$[latex]w^* = w_3(b^*, g^*) = \frac{{g^*}^3(1-b^*)}{(1-g^*)(1-b^* - {b^*}^4)}[/latex]$

Definitionsbereich

Der Definitionsbereich ist der selbe wie oben, also $[latex]w_3(b,g)[/latex]$ ist definiert, da für $[latex]b=b^*[/latex]$ gilt $[latex]b < b^{**}[/latex]$ .

Einsetzen von $[latex]b^*[/latex]$ und $[latex]g^*[/latex]$

$[latex]w^* = \frac{( \frac{3-\sqrt{5}}{2} )^3(1-( \sqrt[3]{\frac{1}{2} + \sqrt{\frac{31}{108}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{2} - \sqrt{\frac{31}{108}}} ))}{(1-( \frac{3-\sqrt{5}}{2} ))(1-( \sqrt[3]{\frac{1}{2} + \sqrt{\frac{31}{108}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{2} - \sqrt{\frac{31}{108}}} ) - ( \sqrt[3]{\frac{1}{2} + \sqrt{\frac{31}{108}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{2} - \sqrt{\frac{31}{108}}} )^4)}[/latex]$

$[latex]w^* = \frac{ (3-\sqrt{5})^3 \cdot (1- \sqrt[3]{\frac{1}{2} + \sqrt{\frac{31}{108}}} - \sqrt[3]{\frac{1}{2} - \sqrt{\frac{31}{108}}} )}{8 \cdot (1- \frac{3-\sqrt{5}}{2} )\cdot(1- \sqrt[3]{\frac{1}{2} + \sqrt{\frac{31}{108}}} - \sqrt[3]{\frac{1}{2} - \sqrt{\frac{31}{108}}} - ( \sqrt[3]{\frac{1}{2} + \sqrt{\frac{31}{108}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{2} - \sqrt{\frac{31}{108}}} )^4)}[/latex]$

Numerische Lösung:

$[latex]b^* \approx 0.68232780382802[/latex]$

$[latex]g^* \approx 0.38196601125011[/latex]$

$[latex]w^* \approx 0.28384587897853[/latex]$

Finden eines $[latex]w^{} = w_{2,3}(b^{}, g^{**})[/latex]$

$[latex]w^{**} := w_{2,3}(b^{**},g^{**}) = w_2(b^{**},g^{**}) = \frac{(1-b^{**})(g^{**}+1)(g^{**}^2-3g^{**}+1)}{2(1-g^{**})(b^{**}^3+b^{**}-1)}[/latex]$

$[latex]w_2(b^{**}, 0) = \frac{1-b^{**}}{2(b^{**}^3+b^{**}-1)}[/latex]$

$[latex]w^{**} \approx 1.31482754[/latex]$

Beispiel: K3(b, 0, 0) = 0

Aus

$[latex]0 = g^3(1-b) - w\cdot(1-g)(1-b - b^4)[/latex]$

ergibt sich zusätzlich

$[latex]K_3(\lambda, g^{**}, 0) = 0[/latex]$

Anhand der $[latex]w_3[/latex]$ Formel sehen wir:

$[latex]w_3(b,g) = \frac{g^3(1-b)}{(1-g)(1-b - b^4)}[/latex]$

Mit $[latex]g^{**}=0[/latex]$ , gilt $[latex]w_3(\lambda, g^{**}) = 0[/latex]$ .

Unmittelbar aus der Definition von $[latex]w_3(b, g)[/latex]$ folgt dann:

$[latex]w_3(b, g^{**}) = \begin{cases} 0 & b \neq b^{**} \\ \lambda & b = b^{**} \end{cases}[/latex]$

Definition: K23

Gegeben sei ein $[latex]b, g, w[/latex]$ .

Gilt $[latex]K_2(b,g,w) = K_3(b,g,w)[/latex]$ so ist $[latex]K_{2,3}(b,g,w)[/latex]$ wie folgt definiert:

$[latex]K_{2,3}(b,g,w) := K_2(b,g,w) = K_3(b,g,w)[/latex]$ .

Dies ist eine Kollissionsdeterminantenübereinstimmung für die Dimensionen $[latex]2,3[/latex]$ bei $[latex](b,g,w)[/latex]$ .

Definition: Geschlossenheit

Gegeben sei eine Kollissionsdeterminantenübereinstimmung für die Dimensionen $[latex]2..n[/latex]$ bei $[latex](b,g,w)[/latex]$ .

Die Dimensionsn heißen geschlossen, wenn es kein $[latex]\lambda[/latex]$ gibt, für das gelte:

a) Es gibt $[latex]K_{2..n}(b,g,\lambda)[/latex]$ .

b) Es gibt $[latex]K_{2..n}(b,\lambda,w)[/latex]$ .

c) Es gibt $[latex]K_{2..n}(\lambda,g,w)[/latex]$ .

Und Variationen. Die Paare (b,g,w) sind somit eindeutig. Jedem b ist genau ein g und ein w zugeordnet.

(b,g) -> w23(b,g) muss bijektiv sein

Es gilt ferner

$[latex]\exists w_{2,3}(b,g) \Rightarrow \exists K_{2,3}(b, g, w_{2,3}) = 0[/latex]$

Ein weiterer Sonderfall

Im 2D-Raum haben wir einen zusätzlichen Sonderfall mit $[latex]b=\lambda[/latex]$ gefunden.

$[latex]K_2(\lambda,g^*,0) = 0[/latex]$

Wir wollen schauen, ob dieses $[latex]b=\lambda[/latex]$ so gewählt werden kann, dass $[latex]K_2(b,g,w) = K_3(b,g,w) = 0[/latex]$ .

b ungleich b*

Wir wählen $[latex]\lambda \neq b^*[/latex]$ da wir den Fall $[latex]w^* = w_{2,3}(b^*, g^*)[/latex]$ bereits kennen.

$[latex]w_2(\lambda \neq b^*, g^*) = 0[/latex]$

$[latex]w_2(b,g) = w_3(b,g)[/latex]$

$[latex]0 = \frac{g^*^3(1-b)}{(1-g)(1-b - b^4)}[/latex]$

Für $[latex]\lambda \neq b^{**}[/latex]$ müsste dann gelten:

$[latex]0 = g^*^3(1-b)[/latex]$

Da $[latex]g^*^3 \neq 0[/latex]$ und $[latex]1-b \neq 0[/latex]$ ist diese Bedingung nicht erfüllt.

Somit gibt es keine Lösung.

w_2=0=w_3

Wir kennen die Fälle bei denen $[latex]w_2 = w_3 = 0[/latex]$ :

$[latex]w_2(\lambda \neq b^*, g^*) = 0[/latex]$

$[latex]w_3(\lambda, g^{**}) = 0[/latex]$ .

Es gibt keine gemeinsame Lösung für lambda, weil g* != g**

b = b**

Wählen wir

$[latex]b = b^{**} \neq b^*[/latex]$

$[latex]g = g^*[/latex]$

Dann ergibt sich:

$[latex]w_2(b^{**}, g^*) = 0[/latex]$

$[latex]w_3(b^{**}, g^*) = \lambda[/latex]$

Es gilt $[latex]w_2(b^{**},g^*) \subseteq w_3(b^{**},g^*)[/latex]$

Dies ist auch in der Definition zu finden:

$[latex]w_{2,3}(b^{**}, g^*) = w_2(b^{**}, g^*) = 0[/latex]$

Es gibt damit

$[latex]K_{2,3}(b^{**}, g^*, 0) = 0[/latex]$

Theorie: K23 ist geschlossen

...

Besondere Lösungen

Triviale Lösungen:

$[latex]K_{2,3}(b^{*}, g^{**}, 0) = 0[/latex]$

$[latex]K_{2,3}(b^{**}, g^*, 0) = 0[/latex]$

Harte Lösungen:

$[latex]K_{2,3}(b^{*}, g^*, w^*) = 0[/latex]$

$[latex]K_{2,3}(b^{**}, g^{**}, w^{**}) = 0[/latex]$

Zusammenfassung

$[latex]K_3(b,g,w) = \frac{g^3(1-b) - w\cdot(1-g)(1-b - b^4)}{(1-b)(1-g)}[/latex]$

$[latex]w_{3}(b,g) := \begin{cases} \frac{g^3(1-b)}{(1-g)(1-b - b^4)} & b < b^{**} \\ \lambda & b = b^{**} \\ \end{cases}[/latex]$

$[latex]X(b,g) = (g+1)(g^2-3g+1)(1-b - b^4) - 2g^3(b^3+b-1)[/latex]$

$[latex]w_{2,3}(b,g) := \begin{cases} w_2(b,g) = w_3(b,g) & b \neq b^* \wedge b \neq b^{**} \wedge X(b,g) = 0 \\ w_3(b,g) & b = b^* \\ w_2(b,g) & b = b^{**} \end{cases}[/latex]$

$[latex]w_{2}: ((g \le g^*) \wedge (b > b^*)) \vee ((g \ge g^*) \wedge (b < b^*))[/latex]$

$[latex]w_{3}: (b < b^{**})[/latex]$

$[latex]w_{2,3}: w_{2} \cup w_{3}: ((g \le g^*) \wedge (b^* < b < b^{**})) \vee ((g \ge g^*) \wedge (b < b^*))[/latex]$

ToDo

w23 mit und ohne K=0 definierbar machen. Dann kann es auch ein "w"23 => K23 != 0 geben. So in der Art K(b,g,w(b,g,WISH))=WISH.

unklar: wie viel abstand/kollissionraum bedeutet es, wenn K<0 bzw. K>0? (anhand k)

Verhalten im 3D-Raum

27.06.2011 22:02:16 +0200

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