Der Concat-Operator

Definition von Daniel Marschall

(1) Definition des Concat-Operators

(1.1) Formelle Definition

Sei $a, b \in \mathbb{N}_{0}$ .

Dann ist der Concat-Operator $\circ$ zwischen den Zahlen wie folgt definiert:

$a \circ b := int(word(a) \circ word(b))$

Wobei $word(x)$ die natürliche Zahl bzw. Null in ein Wort umwandelt,
$int(w)$ das Wort wiederum in eine natürliche Zahl bzw. Null zurückwandelt
und $\circ$ die Konkatenation der Wörter.

Beispiel:

$23\circ12=2312$

(1.2) Mathematische Definition der Concat-Operation

Sei $len(x)$ die Länge der Zahl $x \in \mathbb{N}_{0}$ , dann können wir die Concat-Operation nicht nur formell, sondern auch mathematisch definieren:

$a \circ b = a \cdot 10^{len(b)} + b = a \cdot 10^{ \lfloor log(b)+1 \rfloor } + b$

Beispiel:

$1234 \circ 567 = 1234 \cdot 10^{len(567)} + 567 = 1234 \cdot 10^{\lfloor log(567)+1 \rfloor} + 567 = 1234 \cdot 10^{3} + 567 = 1234 \cdot 1000 + 567 = 1234000 + 567 = 1234567$

Anmerkung: Die formelle und mathematische Definition der Längen-Funktion findet in Abschnitt (3) statt.

(1.3) Definition der Priorität

Außerdem sei definiert, das die Priorität dieses Operators über der Multiplikation/Division und Additon/Subtraktion, allerdings unterhalb der Potenz liegt:

$a + b \circ c = a + (b \circ c)$

$a \cdot b \circ c = a \cdot (b \circ c)$

$a \circ b^c = a \circ (b^c)$

(2) Eigenschaften von Konkatenationen

Sei $a,b,c\in\mathbb{N}_{0}$ .

Für die Konkatenation dieser Zahlen gilt:

(2.1) Assoziativgesetz

Es gilt stets das Assoziativgesetz:

$a\circ(b\circ c)=(a\circ b)\circ c$

(2.2) Kommutativgesetz

Das Kommutativgesetz gilt nur und nur dann, wenn $a=b$ gilt:

$(a \circ b) \neq (b \circ a) \Leftrightarrow (a \neq b)$

$(a \circ b) = (b \circ a) \Leftrightarrow (a = b)$

(2.3) Linksneutrales Element

Es gibt ein linksneutrales Element $E=0$ :

$E\circ a=0\circ a=a$

(2.4) Rechtsneutrales Element

Es existiert kein rechtsneutrales Element.

(2.5) Null/Eins-Elemente

Es existiert kein Null- oder Einselement.

(3) Länge einer Zahl

(3.1) Theoretische Definition der Längen-Funktion

Die Länge einer Zahl $x\in\mathbb{N}_{0}$ ist definiert als

$len(x) := |word(x)|$

wobei $|w|$ die Länge des Wortes $w$ ist.

(3.2) Mathematische Definition der Längen-Funktion

Die Länge von $x\in\mathbb{N}_{0}$ kann auch definiert werden mit

$len(x) :=\begin{cases} 1 & \text{ if } x= 0\\ \left \lfloor log(x)+1 \right \rfloor & \text{ if } x> 0 \end{cases}$

(3.3) Regeln für die Länge

Im Gegensatz zu der Konkatenation von Wörtern ist das Summieren der Längen bei der Konkatenation von $a, b \in \mathbb{N}_{0}$ nicht immer möglich:

$(a=0) \vee (b=0) \LeftRightarrow a \cdot b = 0 \LeftRightarrow len(a \circ b) \neq len(a) + len(b)$

$(a\neq0) \wedge (b\neq0) \LeftRightarrow a \cdot b \neq 0 \LeftRightarrow len(a \circ b) = len(a) + len(b)$

Begründung:

Wir haben oben in (2.3) das neutrale Element $E=0$ definiert, das eine Stelle wegfallen lässt:

$0 \circ a = a \; \forall \; a \in \mathbb{N}_{0}$

(4) Konkatenation einer Folge

(4.1) Reguläre Konkatenierung einer Folge

Sei $\left \{ a_n \right \} _ {n \in \mathbb{N}}$ eine Folge mit $a_n \in \mathbb{N}_0$ .

Es sei definiert:

$\Omega (a) := \Omega_{i=1}^{n} (a_i) := a_1 \circ a_2 \circ ... \circ a_n$

(4.2) Inverse Konkatenierung einer Folge

Aufgrund des nicht erfüllten Kommutativgesetzes der Concat-Operation kann die Folgenkonkatenation auch "rückwärts" durchlaufen werden:

$\overline{\Omega} (a) := \overline{\Omega}_{i=n}^{1} (a_i) := \Omega_{i=1}^{n} (a_{n-i+1}) = a_n \circ a_{n-1} \circ ... \circ a_1$

Stand: 25.11.2010