Verhalten im 3D-Raum

Kollissionsdiskriminante K3

Der Kollissionsdiskriminante für den 3D-Raum ist

[latex]K_3(b,g,w) = \frac{1}{1-g} - g - g^2 - 1 - w + bw(\frac{1}{1-b} - b - b^2 - 1)[/latex]

Vereinfachen von K3

Multiplizieren mit [latex](1-b)\cdot(1-g) \neq 0[/latex]:

[latex]K_3(b,g,w)\cdot(1-b)(1-g) = \frac{1}{1-g}\cdot(1-b)(1-g) - g\cdot(1-b)(1-g) - g^2\cdot(1-b)(1-g) - 1\cdot(1-b)(1-g) - w\cdot(1-b)(1-g) + bw(\frac{1}{1-b} - b - b^2 - 1)\cdot(1-b)(1-g)[/latex]

Die Summanden werden zur getrennten Vereinfachung (übersichtlicher) aufgeteilt:

[latex]A = \frac{1}{1-g}\cdot(1-b)(1-g) - g\cdot(1-b)(1-g) - g^2\cdot(1-b)(1-g) - 1\cdot(1-b)(1-g) - w\cdot(1-b)(1-g)[/latex]

[latex]B = bw(\frac{1}{1-b} - b - b^2 - 1)\cdot(1-b)(1-g)[/latex]

Summand 1

[latex]A = (1-b) - g\cdot(1-b)(1-g) - g^2\cdot(1-b)(1-g) - (1-b)(1-g) - w\cdot(1-b)(1-g)[/latex]

[latex]A = (1-b)(1 - g(1-g) - g^2(1-g) - (1-g)) - w\cdot(1-b)(1-g)[/latex]

[latex]A = (1-b)(1 - (g-g^2) - (g^2-g^3) - (1-g)) - w\cdot(1-b)(1-g)[/latex]

[latex]A = (1-b)(1 - g+g^2 - g^2+g^3 - 1+g) - w\cdot(1-b)(1-g)[/latex]

[latex]A = (1-b)(g^3) - w\cdot(1-b)(1-g)[/latex]

[latex]A = g^3(1-b) - w\cdot(1-b)(1-g)[/latex]

Summand 2

[latex]B = bw(\frac{1}{1-b}\cdot(1-b)(1-g) - b\cdot(1-b)(1-g) - b^2\cdot(1-b)(1-g) - 1\cdot(1-b)(1-g))[/latex]

[latex]B = bw((1-g) - b\cdot(1-b)(1-g) - b^2\cdot(1-b)(1-g) - (1-b)(1-g))[/latex]

[latex]B = bw(1-g)(1 - b\cdot(1-b) - b^2\cdot(1-b) - (1-b))[/latex]

[latex]B = bw(1-g)(1 - (b-b^2) - (b^2-b^3) - 1+b)[/latex]

[latex]B = bw(1-g)(- (b-b^2) - (b^2-b^3) +b)[/latex]

[latex]B = bw(1-g)(- b+b^2 - b^2+b^3 +b)[/latex]

[latex]B = bw(1-g)(b^3)[/latex]

[latex]B = b^4w(1-g)[/latex]

Zusammenfassung der Summanden

[latex]K_3(b,g,w)\cdot(1-b)(1-g) = A + B[/latex]

[latex]K_3(b,g,w) = \frac{A + B}{(1-b)(1-g)}[/latex]

[latex]K_3(b,g,w) = \frac{g^3(1-b) - w\cdot(1-b)(1-g) + b^4w(1-g)}{(1-b)(1-g)}[/latex]

[latex]-w[/latex] rausholen:

[latex]K_3(b,g,w) = \frac{g^3(1-b) - w\cdot((1-b)(1-g) - b^4(1-g))}{(1-b)(1-g)}[/latex]

[latex]K_3(b,g,w) = \frac{g^3(1-b) - w\cdot(1-g)(1-b - b^4)}{(1-b)(1-g)}[/latex]

Finden eines w durch (b,g) damit K3=0

Betrachtung für den Fall [latex]K_3(b,g,w) = 0[/latex] (Berührung im 3D-Raum):

[latex]0 = \frac{g^3(1-b) - w\cdot(1-g)(1-b - b^4)}{(1-b)(1-g)}[/latex]

[latex]0 = g^3(1-b) - w\cdot(1-g)(1-b - b^4)[/latex]

[latex]-g^3(1-b) = - w\cdot(1-g)(1-b - b^4)[/latex]

[latex]g^3(1-b) = w\cdot(1-g)(1-b - b^4)[/latex]

[latex]w_3(b,g) = \frac{g^3(1-b)}{(1-g)(1-b - b^4)}[/latex]

Definitionsbereich untersuchen:

Der Nenner darf nicht Null werden:

[latex]0 = (1-g)(1-b - b^4)[/latex]

[latex]0 = (1-g)[/latex] wird nie null.

Allerdings kann ein [latex]b = b^{**}[/latex] gefunden, werden für das

[latex]0 = 1-b - b^4[/latex]

[latex]0 = -b^4 - b + 1[/latex]

[latex]0 = b^4 + b - 1[/latex]

[latex]b^{**} \approx 0.724492[/latex]

Veranschaulichung auf WolframAlpha.com

(ToDo: Wie exakt zeigen?)


Sonderfall [latex]b=b^{**}[/latex]

Betrachten wir den Sonderfall [latex]b=b^{**}[/latex] für den gilt [latex]1-b - b^4 = 0[/latex] .

Die aus [latex]K_3(b,g)[/latex] abgeleitete Formel [latex]0 = g^3(1-b) - w\cdot(1-g)(1-b - b^4)[/latex] ergibt dann:

[latex]0 = g^3(1-b) - w\cdot(1-g)\cdot 0[/latex]

[latex]0 = g^3(1-b) - 0[/latex]

[latex]0 = g^3(1-b)[/latex]

Da [latex]1-b \neq 0 \; \forall \; 0 \le b < 1[/latex] muss gelten:

[latex]0 = g^3[/latex]

[latex]0 = g[/latex]

Um die Notation beizubehalten, bezeichnen wir dieses [latex]g=0[/latex] als [latex]g^{**}[/latex] .

Somit haben wir die Lösung des Sonderfalls, der von [latex]w[/latex] unabhängig ist:

[latex]K_3(b^{**}, g^{**}, \lambda) = 0[/latex]


Gültige Parameter für [latex]w_3(b,g)[/latex]

Für welche [latex]b, g[/latex] ist [latex]w_3(b,g) \ge 0[/latex]?

Fall A

[latex]\frac{(0)}{(+)} \hat{=} \frac{(+)}{(+)} \hat{=} (+)[/latex]

Es muss also [latex]g^3(1-b) \ge 0[/latex] und [latex](1-g)(1-b - b^4) > 0[/latex]

Divident:

[latex]g^3 \ge 0[/latex]

[latex](1-b) > 0[/latex]

[latex]\Rightarrow g^3(1-b) \ge 0[/latex]

Divisor:

[latex](1-g) > 0[/latex]

[latex]1-b - b^4 > 0[/latex] für [latex]b < b^{**}[/latex]

Also gilt für den Divisor: [latex]b < b^{**} \Rightarrow (1-g)(1-b - b^4) > 0[/latex]

Fall B

[latex]\frac{(0)}{(-)} \hat{=} \frac{(-)}{(-)} \hat{=} (+)[/latex]

Es muss also [latex]g^3(1-b) \le 0[/latex] und [latex](1-g)(1-b - b^4) < 0[/latex]

Wir haben in Fall A gezeigt, dass der Divident [latex]g^3(1-b) \ge 0[/latex] , also nicht negativ werden kann. Deshalb fallen keine [latex]b, g[/latex] in diesen Fall.

Zusammenfassung

Die Gleichung für [latex]w_3(b,g)[/latex] ist für [latex]b < b^{**}[/latex] (gemäß Definitionsbereich) erfüllt.


Vollständige Definition von [latex]w_{3}(b,g)[/latex]

[latex]w_{3}(b,g) := \begin{cases} \frac{g^3(1-b)}{(1-g)(1-b - b^4)} & b < b^{**} \\ \lambda & b = b^{**} \\ \end{cases}[/latex]

Somit gibt es für [latex]K_3(b,g,w)=0[/latex] folgende Lösungen:

[latex]K_3(b, g, w_3(b,g)) = 0[/latex]

[latex]K_3(b^{**}, g^{**}, \lambda) = 0[/latex] (Sonderfall)


Finden eines gemeinsamen [latex]w[/latex]

Es soll ein [latex]w[/latex] gefunden werden, für das sowohl die 2D-Grundbedingung als auch die 3D-Zusatzbedingung erfüllt ist. Dieses [latex]w[/latex] kann nur gefunden werden, wenn für [latex](b,g,w)[/latex] erfüllt ist: [latex]K_2(b,g,w)=K_3(b,g,w)=0[/latex] und [latex]w_2(b,g) = w_3(b,g)[/latex] .

[latex]w_2(b,g) = w_3(b,g) \Rightarrow w_{2,3}(b,g) := w_2(b,g) = w_3(b,g)[/latex]

Dabei ist auch möglich,d ass w_2 oder w_3 = Lambda ist, allerdings nicht beide. Dann gilt die \subseteq Relation.

Definitionsbereich

Damit [latex]w_2(b,g) \ge 0[/latex] muss gelten:

[latex]((g \le g^*) \wedge (b > b^*)) \vee ((g \ge g^*) \wedge (b < b^*))[/latex]

Für [latex]w_3(b,g) \ge 0[/latex] muss gelten:

[latex]b < b^{**}[/latex]

Somit ergibt sich die Bedingung für [latex]w_{2,3}[/latex] :

[latex]((g \le g^*) \wedge (b^* < b < b^{**})) \vee ((g \ge g^*) \wedge (b < b^*))[/latex]

Gleichsetzen von [latex]w_2(b,g)[/latex] und [latex]w_3(b,g)[/latex]

Wir wollen nun die Bedingungen für [latex](b,g)[/latex] finden, sodass [latex]K_2(b,g,w)=K_3(b,g,w)=0[/latex] ist.

[latex]w_2(b,g) = w_3(b,g)[/latex]

[latex]\frac{(1-b)(g+1)(g^2-3g+1)}{2(1-g)(b^3+b-1)} = \frac{g^3(1-b)}{(1-g)(1-b - b^4)}[/latex]

Definitionsbereich

Zwingend erforderlich ist folgende Einschränkung:

Es muss [latex]b \neq b^*[/latex] gelten, da sonst [latex]b^3+b-1 = 0[/latex] und damit bei [latex]w_2(b,g)[/latex] durch Null geteilt wird.

Es muss fener [latex]b \neq b^{**}[/latex] gelten, da sonst [latex]1-b - b^4 = 0[/latex] und damit bei [latex]w_3(b,g)[/latex] durch Null geteilt wird.

Diese beiden Bedingungen sind durch die obige Bedingung [latex]b^* < b < b^{**}[/latex] bzw. [latex]b < b^*[/latex] bereits erfüllt.

Finden einer einfachen Gleichung für [latex]w_{2,3}(b,g)[/latex]

[latex]\frac{(1-b)(g+1)(g^2-3g+1)}{2(b^3+b-1)} = \frac{g^3(1-b)}{1-b - b^4}[/latex]

[latex]\frac{(1-b)(g+1)(g^2-3g+1)}{b^3+b-1} = \frac{2g^3(1-b)}{1-b - b^4}[/latex]

Division mit [latex](1-b) \neq 0[/latex]:

[latex]\frac{(g+1)(g^2-3g+1)}{b^3+b-1} = \frac{2g^3}{1-b - b^4}[/latex]

[latex]\frac{(g+1)(g^2-3g+1)(1-b - b^4)}{b^3+b-1} = 2g^3[/latex]

[latex](g+1)(g^2-3g+1)(1-b - b^4) = 2g^3(b^3+b-1)[/latex]

[latex]0 = (g+1)(g^2-3g+1)(1-b - b^4) - 2g^3(b^3+b-1)[/latex]


1. Sonderfall für [latex]b = b^*[/latex]

Ist [latex]b = b^*[/latex] so gibt es eine Division durch Null in [latex]w_2(b,g)[/latex] und somit wäre [latex]w_{2,3}(b,g)[/latex] nach obiger nicht definiert.

Da wir festgestellt haben, dass im 2D-Raum [latex]b = b^* \Rightarrow w_2(b,g) = \lambda[/latex], können wir [latex](b^*, g)[/latex] in die Gleichung [latex]w_3(b,g)[/latex] einsetzen. Damit bleibt [latex]w_2(b,g) = w_3(b,g)[/latex] (genauer [latex]w_3(b,g) \subseteq w_2(b,g)[/latex] ) erfüllt.

[latex]w_3(b^*, g) = \frac{g^3(1-b^*)}{(1-g)(1 - b^* - {b^*}^4)}[/latex]

Definitionsbereich

[latex]w_3(b^*,g)[/latex] wäre nicht definiert, wenn

[latex](1-g)(1-b^* - {b^*}^4) = 0[/latex]

[latex]w_3(b,g)[/latex] ist definiert, da [latex]1-b^* - {b^*}^4 \neq 0[/latex] sowie [latex](1-g) \neq 0[/latex] .

Einsetzen von [latex]b^*[/latex]

[latex]w_3(b^*, g) = \frac{g^3(1-(\sqrt[3]{\frac{1}{2} + \sqrt{\frac{31}{108}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{2} - \sqrt{\frac{31}{108}}}))}{(1-g)((1-\sqrt[3]{\frac{1}{2} + \sqrt{\frac{31}{108}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{2} - \sqrt{\frac{31}{108}}}) - (\sqrt[3]{\frac{1}{2} + \sqrt{\frac{31}{108}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{2} - \sqrt{\frac{31}{108}}})^4)}[/latex]

[latex]w_3(b^*, g) = \frac{g^3(1-\sqrt[3]{\frac{1}{2} + \sqrt{\frac{31}{108}}} - \sqrt[3]{\frac{1}{2} - \sqrt{\frac{31}{108}}})}{(1-g)(1-\sqrt[3]{\frac{1}{2} + \sqrt{\frac{31}{108}}} - \sqrt[3]{\frac{1}{2} - \sqrt{\frac{31}{108}}} - (\sqrt[3]{\frac{1}{2} + \sqrt{\frac{31}{108}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{2} - \sqrt{\frac{31}{108}}})^4)}[/latex]

2. Sonderfall für [latex]b = b^{**}[/latex]

Ist [latex]b = b^{**}[/latex] so gibt es eine Division durch Null in [latex]w_3(b,g)[/latex] und somit wäre [latex]w_{2,3}(b,g)[/latex] nach obiger nicht definiert.

Da wir festgestellt haben, dass im 3D-Raum [latex]b = b^{**} \Rightarrow w_3(b,g) = \lambda[/latex], können wir [latex](b^{**}, g)[/latex] in die Gleichung [latex]w_2(b,g)[/latex] einsetzen. Damit bleibt [latex]w_2(b,g) = w_3(b,g)[/latex] (genauer [latex]w_2(b,g) \subseteq w_3(b,g)[/latex] ) erfüllt.

[latex]w_2(b^{**}, g) = \frac{(1-b^{**})(g+1)(g^2-3g+1)}{2(1-g)(b^{**}^3+b^{**}-1)}[/latex]

Definitionsbereich

[latex]w_2(b^{**},g)[/latex] wäre nicht definiert, wenn

[latex]2(1-g)(b^{**}^3+b^{**}-1)[/latex].

[latex]w_2(b^{**},g)[/latex] ist definiert, da [latex]b^{**}^3+b^{**}-1 \neq 0[/latex] sowie [latex](1-g) \neq 0[/latex] .

Endgültige Definition von [latex]w_{2,3}(b, g)[/latex]

Vereinigungsdiskriminate

Für diese oben geforderte Relation von [latex](b, g)[/latex]

[latex]0 = (g+1)(g^2-3g+1)(1-b - b^4) - 2g^3(b^3+b-1)[/latex]

führen wir folgende Funktion als Diskriminate ein:

[latex]X(b,g) = (g+1)(g^2-3g+1)(1-b - b^4) - 2g^3(b^3+b-1)[/latex]

Ist also [latex]X(b,g)=0[/latex] , so gibt es ein [latex]w_{2,3}(b,g) := w_{2}(b,g) = w_{3}(b,g)[/latex] und es berühren sich die Raumkanten bei [latex](b, g, w_{2,3}(b,g))[/latex] im 2D- und 3D-Raum.

[latex]X(b,g) = 0 \Leftrightarrow w_{2}(b,g) = w_{3}(b,g) \Leftrightarrow w_{2,3}(b,g) := w_{2}(b,g) = w_{3}(b,g) \Leftrightarrow K_2(b,g,w_{2,3}(b,g)) = K_3(b,g,w_{2,3}(b,g)) = 0[/latex]

für [latex]b \neq b^*[/latex] und [latex]b \neq b^{**} .[/latex]

Die Bedingungen an [latex](b,g)[/latex] damit [latex]w<0[/latex] ist sollten beibehalten werden, sind allerdings nicht für [latex]X(b,g)[/latex] relevant.

Mithilfe der Definition unserer beiden Sonderfälle können [latex]w_{2,3}(b,g)[/latex] also so definieren:

[latex]w_{2,3}(b,g) := \begin{cases} w_2(b,g) = w_3(b,g) & b \neq b^* \wedge b \neq b^{**} \wedge X(b,g) = 0 \\ w_3(b,g) & b = b^* \\ w_2(b,g) & b = b^{**} \end{cases}[/latex]

Achtung: Es sei zu beachten, dass die Zusatzbedingung an [latex](b,g)[/latex] damit [latex]w<0[/latex] ebenfalls erfüllt sein muss. Dabei muss allerdings nur der Teil erfüllt sein, der relevant ist, also entweder für [latex]w_2[/latex], [latex]w_3[/latex] oder [latex]w_{2,3}[/latex] :

[latex]w_{2}: ((g \le g^*) \wedge (b > b^*)) \vee ((g \ge g^*) \wedge (b < b^*))[/latex]

[latex]w_{3}: (b < b^{**})[/latex]

[latex]w_{2,3}: w_{2} \cup w_{3}: ((g \le g^*) \wedge (b^* < b < b^{**})) \vee ((g \ge g^*) \wedge (b < b^*))[/latex]

Anmerkung: Da [latex]b^* \neq b^{**}[/latex] gibt es kein [latex]w_{2,3}(b,g) = \lambda[/latex] .


Finden eines [latex]w^* := w_{2,3}(b^*, g^*)[/latex]

[latex]b^* = \sqrt[3]{\frac{1}{2} + \sqrt{\frac{31}{108}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{2} - \sqrt{\frac{31}{108}}}[/latex]

[latex]g^* = \frac{3-\sqrt{5}}{2}[/latex]

[latex]w^* = w_3(b^*, g^*) = \frac{{g^*}^3(1-b^*)}{(1-g^*)(1-b^* - {b^*}^4)}[/latex]

Definitionsbereich

Der Definitionsbereich ist der selbe wie oben, also [latex]w_3(b,g)[/latex] ist definiert, da für [latex]b=b^*[/latex] gilt [latex]b < b^{**}[/latex] .

Einsetzen von [latex]b^*[/latex] und [latex]g^*[/latex]

[latex]w^* = \frac{(   \frac{3-\sqrt{5}}{2}   )^3(1-(   \sqrt[3]{\frac{1}{2} + \sqrt{\frac{31}{108}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{2} - \sqrt{\frac{31}{108}}}   ))}{(1-(   \frac{3-\sqrt{5}}{2}   ))(1-(   \sqrt[3]{\frac{1}{2} + \sqrt{\frac{31}{108}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{2} - \sqrt{\frac{31}{108}}}   ) - (   \sqrt[3]{\frac{1}{2} + \sqrt{\frac{31}{108}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{2} - \sqrt{\frac{31}{108}}}   )^4)}[/latex]

[latex]w^* = \frac{   (3-\sqrt{5})^3   \cdot (1-   \sqrt[3]{\frac{1}{2} + \sqrt{\frac{31}{108}}} - \sqrt[3]{\frac{1}{2} - \sqrt{\frac{31}{108}}}   )}{8 \cdot (1-   \frac{3-\sqrt{5}}{2}   )\cdot(1-   \sqrt[3]{\frac{1}{2} + \sqrt{\frac{31}{108}}} - \sqrt[3]{\frac{1}{2} - \sqrt{\frac{31}{108}}}    - (   \sqrt[3]{\frac{1}{2} + \sqrt{\frac{31}{108}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{2} - \sqrt{\frac{31}{108}}}   )^4)}[/latex]

Numerische Lösung:

[latex]b^* \approx 0.68232780382802[/latex]

[latex]g^* \approx 0.38196601125011[/latex]

[latex]w^* \approx 0.28384587897853[/latex]

Finden eines [latex]w^{**} = w_{2,3}(b^{**}, g^{**})[/latex]

[latex]w^{**} := w_{2,3}(b^{**},g^{**}) = w_2(b^{**},g^{**}) = \frac{(1-b^{**})(g^{**}+1)(g^{**}^2-3g^{**}+1)}{2(1-g^{**})(b^{**}^3+b^{**}-1)}[/latex]

[latex]w_2(b^{**}, 0) = \frac{1-b^{**}}{2(b^{**}^3+b^{**}-1)}[/latex]

[latex]w^{**} \approx 1.31482754[/latex]

Beispiel: K3(b, 0, 0) = 0

Aus

[latex]0 = g^3(1-b) - w\cdot(1-g)(1-b - b^4)[/latex]

ergibt sich zusätzlich

[latex]K_3(\lambda, g^{**}, 0) = 0[/latex]

Anhand der [latex]w_3[/latex] Formel sehen wir:

[latex]w_3(b,g) = \frac{g^3(1-b)}{(1-g)(1-b - b^4)}[/latex]

Mit [latex]g^{**}=0[/latex], gilt [latex]w_3(\lambda, g^{**}) = 0[/latex] .

Unmittelbar aus der Definition von [latex]w_3(b, g)[/latex] folgt dann:

[latex]w_3(b, g^{**}) = \begin{cases} 0 & b \neq b^{**} \\ \lambda & b = b^{**} \end{cases}[/latex]

Definition: K23

Gegeben sei ein [latex]b, g, w[/latex].

Gilt [latex]K_2(b,g,w) = K_3(b,g,w)[/latex] so ist [latex]K_{2,3}(b,g,w)[/latex] wie folgt definiert:

[latex]K_{2,3}(b,g,w) := K_2(b,g,w) = K_3(b,g,w)[/latex] .

Dies ist eine Kollissionsdeterminantenübereinstimmung für die Dimensionen [latex]2,3[/latex] bei [latex](b,g,w)[/latex] .

Definition: Geschlossenheit

Gegeben sei eine Kollissionsdeterminantenübereinstimmung für die Dimensionen [latex]2..n[/latex] bei [latex](b,g,w)[/latex] .

Die Dimensionsn heißen geschlossen, wenn es kein [latex]\lambda[/latex] gibt, für das gelte:

a) Es gibt [latex]K_{2..n}(b,g,\lambda)[/latex] .

b) Es gibt [latex]K_{2..n}(b,\lambda,w)[/latex] .

c) Es gibt [latex]K_{2..n}(\lambda,g,w)[/latex] .

Und Variationen. Die Paare (b,g,w) sind somit eindeutig. Jedem b ist genau ein g und ein w zugeordnet.

(b,g) -> w23(b,g) muss bijektiv sein

Es gilt ferner

[latex]\exists w_{2,3}(b,g) \Rightarrow \exists K_{2,3}(b, g, w_{2,3}) = 0[/latex]

Ein weiterer Sonderfall

Im 2D-Raum haben wir einen zusätzlichen Sonderfall mit [latex]b=\lambda[/latex] gefunden.

[latex]K_2(\lambda,g^*,0) = 0[/latex]

Wir wollen schauen, ob dieses [latex]b=\lambda[/latex] so gewählt werden kann, dass [latex]K_2(b,g,w) = K_3(b,g,w) = 0[/latex].

b ungleich b*

Wir wählen [latex]\lambda \neq b^*[/latex] da wir den Fall [latex]w^* = w_{2,3}(b^*, g^*)[/latex] bereits kennen.

[latex]w_2(\lambda \neq b^*, g^*) = 0[/latex]

[latex]w_2(b,g) = w_3(b,g)[/latex]

[latex]0 = \frac{g^*^3(1-b)}{(1-g)(1-b - b^4)}[/latex]

Für [latex]\lambda \neq b^{**}[/latex] müsste dann gelten:

[latex]0 = g^*^3(1-b)[/latex]

Da [latex]g^*^3 \neq 0[/latex] und [latex]1-b \neq 0[/latex] ist diese Bedingung nicht erfüllt.

Somit gibt es keine Lösung.

w_2=0=w_3

Wir kennen die Fälle bei denen [latex]w_2 = w_3 = 0[/latex]:

[latex]w_2(\lambda \neq b^*, g^*) = 0[/latex]

[latex]w_3(\lambda, g^{**}) = 0[/latex] .

Es gibt keine gemeinsame Lösung für lambda, weil g* != g**

b = b**

Wählen wir

[latex]b = b^{**} \neq b^*[/latex]

[latex]g = g^*[/latex]

Dann ergibt sich:

[latex]w_2(b^{**}, g^*) = 0[/latex]

[latex]w_3(b^{**}, g^*) = \lambda[/latex]

Es gilt [latex]w_2(b^{**},g^*) \subseteq w_3(b^{**},g^*)[/latex]

Dies ist auch in der Definition zu finden:

[latex]w_{2,3}(b^{**}, g^*) = w_2(b^{**}, g^*) = 0[/latex]

Es gibt damit

[latex]K_{2,3}(b^{**}, g^*, 0) = 0[/latex]

Theorie: K23 ist geschlossen

...

Besondere Lösungen

Triviale Lösungen:

[latex]K_{2,3}(b^{*}, g^{**}, 0) = 0[/latex]

[latex]K_{2,3}(b^{**}, g^*, 0) = 0[/latex]

Harte Lösungen:

[latex]K_{2,3}(b^{*}, g^*, w^*) = 0[/latex]

[latex]K_{2,3}(b^{**}, g^{**}, w^{**}) = 0[/latex]

Zusammenfassung

[latex]K_3(b,g,w) = \frac{g^3(1-b) - w\cdot(1-g)(1-b - b^4)}{(1-b)(1-g)}[/latex]

[latex]w_{3}(b,g) := \begin{cases} \frac{g^3(1-b)}{(1-g)(1-b - b^4)} & b < b^{**} \\ \lambda & b = b^{**} \\ \end{cases}[/latex]

[latex]X(b,g) = (g+1)(g^2-3g+1)(1-b - b^4) - 2g^3(b^3+b-1)[/latex]

[latex]w_{2,3}(b,g) := \begin{cases} w_2(b,g) = w_3(b,g) & b \neq b^* \wedge b \neq b^{**} \wedge X(b,g) = 0 \\ w_3(b,g) & b = b^* \\ w_2(b,g) & b = b^{**} \end{cases}[/latex]

[latex]w_{2}: ((g \le g^*) \wedge (b > b^*)) \vee ((g \ge g^*) \wedge (b < b^*))[/latex]

[latex]w_{3}: (b < b^{**})[/latex]

[latex]w_{2,3}: w_{2} \cup w_{3}: ((g \le g^*) \wedge (b^* < b < b^{**})) \vee ((g \ge g^*) \wedge (b < b^*))[/latex]

ToDo

w23 mit und ohne K=0 definierbar machen. Dann kann es auch ein "w"23 => K23 != 0 geben. So in der Art K(b,g,w(b,g,WISH))=WISH.

unklar: wie viel abstand/kollissionraum bedeutet es, wenn K<0 bzw. K>0? (anhand k)


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