Ableitungen von numerischen Werten

Gegeben sei eine Wertetabelle, z.B. gefahrene Kilometer.

Ermittelt werden soll Geschwindigkeit und Geschwindigkeitszuwachs/-abnahme.

(1) Trivial: Der Abstand der Schlüssel sei gleich.

(a=neuster Wert, b..z = älterer Wert)

Dann gilt für die Ableitungen / Differenzen:

I. (a-b) = a- b II. (a-b) - (b-c) = a-2b+ c III. (a-2b+c) - (b-2c+d) = a-3b+ 3c- d IV. (a-3b+3c-d) - (b-3c+3d-e) = a-4b+ 6c- 4d+ e V. (a-4b+6c-4d+e) - (b-4c+6d-4e+f) = a-5b+10c-10d+5e-f I. (+ 1) II. (+ 1, - 2, + 1) III. (+ 1, - 3, + 3, - 1) IV. (+ 1, - 4, + 6, - 4, + 1) V. (+ 1, - 5, +10, -10, + 5, - 1)

Allgemeine Regel: Pascal'sches Dreieck, alternierende Vorzeichen

$a^{(n)}(b) = \sum_{i=0}^{n} (-1)^i \cdot a(b-i) \cdot \binom{n}{i},\; b\ge n$

wobei a(n) für a steht, a(n-1) für b, etc.

(2) Komplex: Der Abstand der Schlüssel ist nicht gleich.

$f^{(n)}(x) = \sum_{i=0}^{n} (-1)^i \cdot \frac{f(x)-f(i)}{x-i} \cdot \binom{n}{i},\; x\ge n$

Gültigkeit noch nicht geprüft