Vereinfachen der K2-FormelDer Kollissionsdiskriminante für den 2D-Raum ist Multiplizieren mit : Die Summanden werden zur getrennten Vereinfachung (übersichtlicher) aufgeteilt: Summand 1 Für ist folgende Gleichung erfüllt: Also kann durch Polinomdivison die folgende Faktorisierung erreicht werden: Somit ist der Summand: Summand 2 Zusammenfassung der Summanden Umstellung nach bei Vollständige Definition Somit gibt es für folgende Lösungen: (Sonderfall) Definitionsbereich Da : Sei die Lösung von . Es muss also sein! Herleitung von Gemäß Cardanischer Formel ist : Es gibt genau 1 Lösung (Formel weiter vereinfachbar?) Ergebnis gemäß WolframAlpha.com korrekt. Betrachtung Sonderfall 1 Der erste Sonderfall beschäftigt sich mit dem Fall . In diesem Fall ist nicht definiert. Allerdings kann durch die Gleichung für gefunden werden: Wir sehen also, dass bei von unabhängig ist! Wir wählen hierfür die Notation mit . Betrachtung Sonderfall 2 Der zweite Sonderfall beschäftigt sich mit dem Fall dass es ein gibt, bei dem für ein beliebiges ist. Wählen wir , dann gibt aufgrund des Sonderfalls 1: Wählen wir nun ein , sodass Aus der PQ-Formel ergibt sich: Ist also und , so gilt mit . Eine weitere Tatsache Lassen wir sein. Dann ist und der einzig gültige Wert für ist . Gültige Parameter für Für welche ist ? Fall A Zähler: Nenner: und Folgende Faktoren sind immer positiv: , , , Daher muss gelten: Zähler: und Nenner: Dann ist berechenbar, wenn für gilt: und Fall B Zähler: und Nenner: Folgende Faktoren sind immer positiv: , , , Daher muss gelten: Zähler: und Nenner: Dann ist berechenbar, wenn für gilt: und Zusammenfassung der beiden Fälle Somit muss gelten: Bzw. Ein weiterer SonderfallBetrachten wir und , so ist erfüllt mit : Ein paar ErgebnisseEs gilt unter Anderem für: Schließen wir aus, so können wir definieren: Wählen wir , so gelte: Wir können festlegen: Dies folgt auch unmittelbar aus der Definition von . Zusammenfassung2D-Kollissionsradius Für eine Berührung ( ) im 2D-Raum muss gelten: | ||
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