Split-complex multiplication z1*z2 = (a,bj)*(c,dj) = (ac+bd) + (ad+bc)j ---------------------------------------- Split-quaternion multiplication According to multiplication table at https://en.wikipedia.org/wiki/Split-quaternion c = a + b (a_0 + a_1i + a_2j + a_3k)* (b_0 + b_1i + b_2j + b_3k)= (c_0 + c_1i + c_2j + c_3k) c_0 = a_0*b_0 - a_1*b_1 + a_2*b_2 + a_3*b_3 c_1 = a_0*b_1 + a_1*b_0 - a_2*b_3 + a_3*b_2 c_2 = a_0*b_2 - a_1*b_3 + a_2*b_0 + a_3*b_1 c_3 = a_0*b_3 + a_1*b_2 - a_2*b_1 + a_3*b_0 ---------------------------------------- Split-octonion multiplication According to multiplication table at https://en.wikipedia.org/wiki/Split-octonion c = a + b (a_0 + a_1i + a_2j + a_3k + a_4l + a_5li + a_6lj + a_7lk)* (b_0 + b_1i + b_2j + b_3k + b_4l + b_5li + b_6lj + b_7lk)= (c_0 + c_1i + c_2j + c_3k + c_4l + c_5li + c_6lj + c_7lk) c_0 = a_0*b_0 - a_1*b_1 - a_2*b_2 - a_3*b_3 + a_4*b_4 + a_5*b_5 + a_6*b_6 + a_7*b_7 c_1 = a_0*b_1 + a_1*b_0 + a_2*b_3 - a_3*b_2 + a_4*b_5 - a_5*b_4 + a_6*b_7 - a_7*b_6 c_2 = a_0*b_2 - a_1*b_3 + a_2*b_0 + a_3*b_1 + a_4*b_6 - a_5*b_7 - a_6*b_4 + a_7*b_5 c_3 = a_0*b_3 + a_1*b_2 - a_2*b_1 + a_3*b_0 + a_4*b_7 + a_5*b_6 - a_6*b_5 - a_7*b_4 c_4 = a_0*b_4 + a_1*b_5 + a_2*b_6 + a_3*b_7 + a_4*b_0 - a_5*b_1 - a_6*b_2 - a_7*b_3 c_5 = a_0*b_5 - a_1*b_4 - a_2*b_7 + a_3*b_6 + a_4*b_1 + a_5*b_0 - a_6*b_3 + a_7*b_2 c_6 = a_0*b_6 + a_1*b_7 - a_2*b_4 - a_3*b_5 + a_4*b_2 - a_5*b_3 + a_6*b_0 - a_7*b_1 c_7 = a_0*b_7 - a_1*b_6 + a_2*b_5 - a_3*b_4 + a_4*b_3 - a_5*b_2 + a_6*b_1 + a_7*b_0 ---------------------------------------- Bicomplex number multiplication According to multiplication table at http://3dfractals.com/docs/Article01_bicomplex.pdf as well as Spanish + French Wikipedia. Multiplication Table at English, Japanese, Chinese, ... Wikipedia is WRONG c = a + b (a_0 + a_1i + a_2j + a_3k)* (b_0 + b_1i + b_2j + b_3k)= (c_0 + c_1i + c_2j + c_3k) c_0 = a_0*b_0 - a_1*b_1 - a_2*b_2 + a_3*b_3 c_1 = a_0*b_1 + a_1*b_0 - a_2*b_3 - a_3*b_2 c_2 = a_0*b_2 - a_1*b_3 + a_2*b_0 - a_3*b_1 c_3 = a_0*b_3 + a_1*b_2 + a_2*b_1 + a_3*b_0 ---------------------------------------- Biquaternions multiplication According to multiplication table at https://www.naturalspublishing.com/files/published/e71f3zs34zg62q.pdf https://en.wikipedia.org/wiki/Biquaternion c = a + b (a_0 e_0 + a_1 e_1 + a_2 e_2 + a_3 e_3 + a_4 e_4 + a_5 e_5 + a_6 e_6 + a_7 e_7)* (b_0 e_0 + b_1 e_1 + b_2 e_2 + b_3 e_3 + b_4 e_4 + b_5 e_5 + b_6 e_6 + b_7 e_7)= (c_0 e_0 + c_1 e_1 + c_2 e_2 + c_3 e_3 + c_4 e_4 + c_5 e_5 + c_6 e_6 + c_7 e_7) c_0 = a_0*b_0 - a_1*b_1 - a_2*b_2 - a_3*b_3 - a_4*b_4 + a_5*b_5 + a_6*b_6 + a_7*b_7 c_1 = a_0*b_1 + a_1*b_0 + a_2*b_3 - a_3*b_2 - a_4*b_5 - a_5*b_4 - a_6*b_7 + a_7*b_6 c_2 = a_0*b_2 - a_1*b_3 + a_2*b_0 + a_3*b_1 - a_4*b_6 + a_5*b_7 - a_6*b_4 - a_7*b_5 c_3 = a_0*b_3 + a_1*b_2 - a_2*b_1 + a_3*b_0 - a_4*b_7 - a_5*b_6 + a_6*b_5 - a_7*b_4 c_4 = a_0*b_4 - a_1*b_5 - a_2*b_6 - a_3*b_7 + a_4*b_0 - a_5*b_1 - a_6*b_2 - a_7*b_3 c_5 = a_0*b_5 + a_1*b_4 + a_2*b_7 - a_3*b_6 + a_4*b_1 + a_5*b_0 + a_6*b_3 - a_7*b_2 c_6 = a_0*b_6 - a_1*b_7 + a_2*b_4 + a_3*b_5 + a_4*b_2 - a_5*b_3 + a_6*b_0 + a_7*b_1 c_7 = a_0*b_7 + a_1*b_6 - a_2*b_5 + a_3*b_4 + a_4*b_3 + a_5*b_2 - a_6*b_1 + a_7*b_0 ---------------------------------------- Sedenions Multiplication Based on the multiplication table (16x16 part) https://en.wikipedia.org/wiki/Sedenion (c[0],c[1],c[2],c[3],c[4],c[5],c[6],c[7],c[8],c[9],c[10],c[11],c[12],c[13],c[14],c[15])=(a[0],a[1],a[2],a[3],a[4],a[5],a[6],a[7],a[8],a[9],a[10],a[11],a[12],a[13],a[14],a[15])*(b[0],b[1],b[2],b[3],b[4],b[5],b[6],b[7],b[8],b[9],b[10],b[11],b[12],b[13],b[14],b[15]) c[0]=a[0]b[0]-a[1]b[1]-a[2]b[2]-a[3]b[3]-a[4]b[4]-a[5]b[5]-a[6]b[6]-a[7]b[7]-a[8]b[8]-a[9]b[9]-a[10]b[10]-a[11]b[11]-a[12]b[12]-a[13]b[13]-a[14]b[14]-a[15]b[15] c[1]=a[0]b[1]+a[1]b[0]+a[2]b[3]-a[3]b[2]+a[4]b[5]-a[5]b[4]-a[6]b[7]+a[7]b[6]+a[8]b[9]-a[9]b[8]-a[10]b[11]+a[11]b[10]-a[12]b[13]+a[13]b[12]+a[14]b[15]-a[15]b[14] c[2]=a[0]b[2]-a[1]b[3]+a[2]b[0]+a[3]b[1]+a[4]b[6]+a[5]b[7]-a[6]b[4]-a[7]b[5]+a[8]b[10]+a[9]b[11]-a[10]b[8]-a[11]b[9]-a[12]b[14]-a[13]b[15]+a[14]b[12]+a[15]b[13] c[3]=a[0]b[3]+a[1]b[2]-a[2]b[1]+a[3]b[0]+a[4]b[7]-a[5]b[6]+a[6]b[5]-a[7]b[4]+a[8]b[11]-a[9]b[10]+a[10]b[9]-a[11]b[8]-a[12]b[15]+a[13]b[14]-a[14]b[13]+a[15]b[12] c[4]=a[0]b[4]-a[1]b[5]-a[2]b[6]-a[3]b[7]+a[4]b[0]+a[5]b[1]+a[6]b[2]+a[7]b[3]+a[8]b[12]+a[9]b[13]+a[10]b[14]+a[11]b[15]-a[12]b[8]-a[13]b[9]-a[14]b[10]-a[15]b[11] c[5]=a[0]b[5]+a[1]b[4]-a[2]b[7]+a[3]b[6]-a[4]b[1]+a[5]b[0]-a[6]b[3]+a[7]b[2]+a[8]b[13]-a[9]b[12]+a[10]b[15]-a[11]b[14]+a[12]b[9]-a[13]b[8]+a[14]b[11]-a[15]b[10] c[6]=a[0]b[6]+a[1]b[7]+a[2]b[4]-a[3]b[5]-a[4]b[2]+a[5]b[3]+a[6]b[0]-a[7]b[1]+a[8]b[14]-a[9]b[15]-a[10]b[12]+a[11]b[13]+a[12]b[10]-a[13]b[11]-a[14]b[8]+a[15]b[9] c[7]=a[0]b[7]-a[1]b[6]+a[2]b[5]+a[3]b[4]-a[4]b[3]-a[5]b[2]+a[6]b[1]+a[7]b[0]+a[8]b[15]+a[9]b[14]-a[10]b[13]-a[11]b[12]+a[12]b[11]+a[13]b[10]-a[14]b[9]-a[15]b[8] c[8]=a[0]b[8]-a[1]b[9]-a[2]b[10]-a[3]b[11]-a[4]b[12]-a[5]b[13]-a[6]b[14]-a[7]b[15]+a[8]b[0]+a[9]b[1]+a[10]b[2]+a[11]b[3]+a[12]b[4]+a[13]b[5]+a[14]b[6]+a[15]b[7] c[9]=a[0]b[9]+a[1]b[8]-a[2]b[11]+a[3]b[10]-a[4]b[13]+a[5]b[12]+a[6]b[15]-a[7]b[14]-a[8]b[1]+a[9]b[0]-a[10]b[3]+a[11]b[2]-a[12]b[5]+a[13]b[4]+a[14]b[7]-a[15]b[6] c[10]=a[0]b[10]+a[1]b[11]+a[2]b[8]-a[3]b[9]-a[4]b[14]-a[5]b[15]+a[6]b[12]+a[7]b[13]-a[8]b[2]+a[9]b[3]+a[10]b[0]-a[11]b[1]-a[12]b[6]-a[13]b[7]+a[14]b[4]+a[15]b[5] c[11]=a[0]b[11]-a[1]b[10]+a[2]b[9]+a[3]b[8]-a[4]b[15]+a[5]b[14]-a[6]b[13]+a[7]b[12]-a[8]b[3]-a[9]b[2]+a[10]b[1]+a[11]b[0]-a[12]b[7]+a[13]b[6]-a[14]b[5]+a[15]b[4] c[12]=a[0]b[12]+a[1]b[13]+a[2]b[14]+a[3]b[15]+a[4]b[8]-a[5]b[9]-a[6]b[10]-a[7]b[11]-a[8]b[4]+a[9]b[5]+a[10]b[6]+a[11]b[7]+a[12]b[0]-a[13]b[1]-a[14]b[2]-a[15]b[3] c[13]=a[0]b[13]-a[1]b[12]+a[2]b[15]-a[3]b[14]+a[4]b[9]+a[5]b[8]+a[6]b[11]-a[7]b[10]-a[8]b[5]-a[9]b[4]+a[10]b[7]-a[11]b[6]+a[12]b[1]+a[13]b[0]+a[14]b[3]-a[15]b[2] c[14]=a[0]b[14]-a[1]b[15]-a[2]b[12]+a[3]b[13]+a[4]b[10]-a[5]b[11]+a[6]b[8]+a[7]b[9]-a[8]b[6]-a[9]b[7]-a[10]b[4]+a[11]b[5]+a[12]b[2]-a[13]b[3]+a[14]b[0]+a[15]b[1] c[15]=a[0]b[15]+a[1]b[14]-a[2]b[13]-a[3]b[12]+a[4]b[11]+a[5]b[10]-a[6]b[9]+a[7]b[8]-a[8]b[7]+a[9]b[6]-a[10]b[5]-a[11]b[4]+a[12]b[3]+a[13]b[2]-a[14]b[1]+a[15]b[0] ---------------------------------------- Octonions Multiplication Based on the multiplication table (8x8 part) https://en.wikipedia.org/wiki/Sedenion (c[0],c[1],c[2],c[3],c[4],c[5],c[6],c[7])=(a[0],a[1],a[2],a[3],a[4],a[5],a[6],a[7])*(b[0],b[1],b[2],b[3],b[4],b[5],b[6],b[7]) c[0]=a[0]b[0]-a[1]b[1]-a[2]b[2]-a[3]b[3]-a[4]b[4]-a[5]b[5]-a[6]b[6]-a[7]b[7] c[1]=a[1]b[0]+a[0]b[1]-a[3]b[2]+a[2]b[3]-a[5]b[4]+a[4]b[5]+a[7]b[6]-a[6]b[7] c[2]=a[2]b[0]+a[3]b[1]+a[0]b[2]-a[1]b[3]-a[6]b[4]-a[7]b[5]+a[4]b[6]+a[5]b[7] c[3]=a[3]b[0]-a[2]b[1]+a[1]b[2]+a[0]b[3]-a[7]b[4]+a[6]b[5]-a[5]b[6]+a[4]b[7] c[4]=a[4]b[0]+a[5]b[1]+a[6]b[2]+a[7]b[3]+a[0]b[4]-a[1]b[5]-a[2]b[6]-a[3]b[7] c[5]=a[5]b[0]-a[4]b[1]+a[7]b[2]-a[6]b[3]+a[1]b[4]+a[0]b[5]+a[3]b[6]-a[2]b[7] c[6]=a[6]b[0]-a[7]b[1]-a[4]b[2]+a[5]b[3]+a[2]b[4]-a[3]b[5]+a[0]b[6]+a[1]b[7] c[7]=a[7]b[0]+a[6]b[1]-a[5]b[2]-a[4]b[3]+a[3]b[4]+a[2]b[5]-a[1]b[6]+a[0]b[7] ---------------------------------------- Quaternions Multiplication Based on the multiplication table (4x4 part) https://en.wikipedia.org/wiki/Sedenion (c[0],c[1],c[2],c[3])=(a[0],a[1],a[2],a[3])*(b[0],b[1],b[2],b[3]) c[0]=a[0]b[0]-a[1]b[1]-a[2]b[2]-a[3]b[3] c[1]=a[0]b[1]+a[1]b[0]+a[2]b[3]-a[3]b[2] c[2]=a[0]b[2]-a[1]b[3]+a[2]b[0]+a[3]b[1] c[3]=a[0]b[3]+a[1]b[2]-a[2]b[1]+a[3]b[0] ---------------------------------------- Complex Multiplication Based on the multiplication table (2x2 part) https://en.wikipedia.org/wiki/Sedenion (c[0],c[1])=(a[0],a[1])*(b[0],b[1]) c[0]=a[0]b[0]-a[1]b[1] c[1]=a[1]b[0]+a[0]b[1] ---------------------------------------- Integer Multiplication Based on the multiplication table (1x1 part) https://en.wikipedia.org/wiki/Sedenion (c[0])=(a[0])*(b[0]) c[0]=a[0]b[0] ----------------------------------------